BZOJ4027: [HEOI2015]兔子与樱花

BZOJ4027: [HEOI2015]兔子与樱花

Description

很久很久之前，森林里住着一群兔子。有一天，兔子们突然决定要去看樱花。兔子们所在森林里的樱花树很特殊。樱花树由n个树枝分叉点组成，编号从0到n-1，这n个分叉点由n-1个树枝连接，我们可以把它看成一个有根树结构，其中0号节点是根节点。这个树的每个节点上都会有一些樱花，其中第i个节点有c_i朵樱花。樱花树的每一个节点都有最大的载重m，对于每一个节点i，它的儿子节点的个数和i节点上樱花个数之和不能超过m，即son(i) + c_i <= m，其中son(i)表示i的儿子的个数，如果i为叶子节点，则son(i) = 0

现在兔子们觉得樱花树上节点太多，希望去掉一些节点。当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。如果父节点也被删除，那么就会继续向上连接，直到第一个没有被删除的节点为止。

现在兔子们希望计算在不违背最大载重的情况下，最多能删除多少节点。

注意根节点不能被删除，被删除的节点不被计入载重。

Input

第一行输入两个正整数，n和m分别表示节点个数和最大载重

第二行n个整数c_i，表示第i个节点上的樱花个数

接下来n行，每行第一个数k_i表示这个节点的儿子个数，接下来k_i个整数表示这个节点儿子的编号

Output

 一行一个整数，表示最多能删除多少节点。

Sample Input

10 4
0 2 2 2 4 1 0 4 1 1
3 6 2 3
1 9
1 8
1 1
0
0
2 7 4
0
1 5
0

Sample Output

4

HINT

对于100%的数据，1 <= n <= 2000000, 1 <= m <= 100000, 0 <= c_i <= 1000

数据保证初始时，每个节点樱花数与儿子节点个数之和大于0且不超过m

---

题解Here!

额，刚拿到手自然没有什么思路。。。

我们自底向上，贪心的优先删除每个点的儿子中代价最小的一个。

即：以$son[i]+val[i]$为$i$点的代价，每个点我们选取代价最小的删除，结果一定不会变差。

证明？不存在的如下：

首先对于$i$点和$i$的两个儿子$p,q$，由决策包容性我们可以知道：

如果$val[p]+son[p]<val[q]+son[q]$，选$p$优先删除一定比选$q$优先删除更优。

所以我们从根节点$dfs$，从叶子结点向上回溯。

路上如果遇到能删除的点就删，不必考虑其祖先。

这个证明。。。$emmm.... $

证明：设点$i$的儿子是$p$，$p$的兄弟是$q$，$j$还有一个儿子是$j$。

$dfs$的过程中，如果在回溯到$p$的时候发现可以删除$j$，那么就删除$j$，并更新$p$本身的代价。

这样可能会导致无法再回溯到$i$点的时候删除$q$。

等一下，这不是有后效性嘛。

但是因为贪心删了儿子而导致这个点不能再删，那么我们只会损失一个点，就是该点。

而删除儿子至少会删除一个，所以不会亏。。。

所以，自底向上的删除无后效性，满足贪心性质。

然后就可以愉快地$dfs$了。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 2000010
using namespace std;
int n,m,c=1,ans=0;
int val[MAXN],head[MAXN],son[MAXN],num[MAXN],Left[MAXN],Right[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline bool cmp(const int &p,const int &q){
	return val[p]+son[p]<val[q]+son[q];
}
void dfs(int rt){
	if(!son[rt])return;
	for(int i=Left[rt];i<=Right[rt];i++)dfs(num[i]);
	sort(num+Left[rt],num+Right[rt]+1,cmp);
	for(int i=Left[rt];i<=Right[rt];i++){
		if(son[num[i]]+val[num[i]]+son[rt]+val[rt]-1<=m){
			ans++;
			val[rt]+=val[num[i]];
			son[rt]+=son[num[i]]-1;
		}
		else break;
	}
}
void work(){
	dfs(1);
	printf("%d\n",ans);
}
void init(){
	int x,y;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=son[i]=read();
		Left[i]=c;
		while(x--)num[c++]=read()+1;
		Right[i]=c-1;
	}
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}