BZOJ2795: [Poi2012]A Horrible Poem

BZOJ2795: [Poi2012]A Horrible Poem

Description

给出一个由小写英文字母组成的字符串S，再给出q个询问，要求回答S某个子串的最短循环节。
如果字符串B是字符串A的循环节，那么A可以由B重复若干次得到。

Input

第一行一个正整数n (n<=500,000)，表示S的长度。
第二行n个小写英文字母，表示字符串S。
第三行一个正整数q (q<=2,000,000)，表示询问个数。
下面q行每行两个正整数a,b (1<=a<=b<=n)，表示询问字符串S[a..b]的最短循环节长度。

Output

依次输出q行正整数，第i行的正整数对应第i个询问的答案。

Sample Input

8
aaabcabc
3
1 3
3 8
4 8

Sample Output

1
3
5

---

题解Here!

首先这问题画一画发现它绝对不是什么数据结构能维护的，因为这东西毫无可并性。。。

于是我们拿出了处理字符串的暴力工具——$Hash$！

（当然不用后缀数组辣！）

首先最短循环节长度有几个性质：

1. 循环节一定是长度的约数。
2. 如果$n$是一个循环节，那么$k*n$也必定是一个循环节（关键所在）。
3. 若$n$是$[l,r]$这一段的循环节的充要条件是$[l,r-n]$和$[l+n,r]$相同（利用这个性质我们在判断是否为循环节是可以做到$O(1)$）。

所以我们可以在求出这个区间的长度之后，判断它的每个约数是否是循环节（应用性质3），并且因为性质1，它的约数是循环节，原串一定也是。

所以只要不断除以质因数（相当于从大到小枚举约数），缩小$L$的长度，最后就是最小的长度。

而一个重要的点在于，用上面方法来枚举约数是为了避免$TLE$。

在求它的质因数的时候，可以通过线性筛的过程求得，将时间复杂度由$O(\sqrt n)$降为$O(\log_2n)$。

所以总复杂度就是$O(n\log_2n)$。

注意这里枚举到全长。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 500010
#define MOD 29
using namespace std;
int n,m;
int val[MAXN],hash[MAXN];
char str[MAXN];
int k=0,prime[MAXN],min_prime[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
	int m=MAXN-10;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!np[i]){
			prime[++k]=i;
			min_prime[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
			np[prime[j]*i]=true;
			min_prime[prime[j]*i]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
	val[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		val[i]=val[i-1]*MOD;
		hash[i]=hash[i-1]*MOD+(str[i]-'0'+1);
	}
}
inline bool check(int l1,int r1,int l2,int r2){
	int x=hash[r1]-hash[l1-1]*val[r1-l1+1],y=hash[r2]-hash[l2-1]*val[r2-l2+1];
	return (x==y);
}
void work(){
	int x,y;
	while(m--){
		x=read();y=read();
		int ans=y-x+1;
		for(int j=y-x+1;j>1;){
			int k=min_prime[j];
			while(ans%k==0&&check(x,y-ans/k,x+ans/k,y))ans/=k;
			while(j%k==0)j/=k;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}
void init(){
	n=read();
	scanf("%s",str+1);
	make();
	m=read();
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}