BZOJ2671: Calc
Description
给出N,统计满足下面条件的数对(a,b)的个数:
1.1<=a<b<=N
2.a+b整除a*b
1.1<=a<b<=N
2.a+b整除a*b
Input
一行一个数N
Output
一行一个数表示答案
Sample Input
15
Sample Output
4
HINT
数据规模和约定
Test N Test N
1 <=10 11 <=5*10^7
2 <=50 12 <=10^8
3 <=10^3 13 <=2*10^8
4 <=5*10^3 14 <=3*10^8
5 <=2*10^4 15 <=5*10^8
6 <=2*10^5 16 <=10^9
7 <=2*10^6 17 <=10^9
8 <=10^7 18 <=2^31-1
9 <=2*10^7 19 <=2^31-1
10 <=3*10^7 20 <=2^31-1
题解Here!
这是一道神题。。。
所以我不会做。。。
只能去抄题解。。。
厚颜无耻写文。。。
题目要求:$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i+j)|(ij)]$
我们把那个$(i+j)|(ij)$单独提出来看。
这个推导的过程可能比较扯淡复杂。。。
设$d=gcd(i,j)$,那么原式即为$$d(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d^2$$
消去一个$d$:$$(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d$$
设$u=\frac{i}{d},v=\frac{j}{d}$,则:$$(u+v)|(uv)d$$
而我们知道这时$u+v$与$uv$已经没有公约数了,不能再消去了。
于是变成了:$$(u+v)|d$$
神奇吧。。。
我们注意到$(u+v)d<=n,u<=d,v<=d$,所以有:$$u,v \in [1,\sqrt n]$$
所以题目就转化为:求$$\sum_{u=1}^{\sqrt n}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{u+v}\rfloor[gcd(u,v)==1]$$
我们看到了熟悉的东西:$[gcd(u,v)==1]$
莫比乌斯反演!
于是:$$\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{u=1}^{\lfloor\frac{\sqrt n}{d}\rfloor}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{(u+v)d^2}\rfloor$$
然后就可以愉快地跑了!
附代码:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 | #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #define MAXN 100010 using namespace std; long long n; int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN]; bool np[MAXN]; inline long long read(){ long long date=0,w=1; char c=0; while (c< '0' ||c> '9' ){ if (c== '-' )w=-1;c= getchar ();} while (c>= '0' &&c<= '9' ){date=date*10+c- '0' ;c= getchar ();} return date*w; } void make(){ int m=MAXN-10; mu[1]=1; for ( int i=2;i<=m;i++){ if (!np[i]){ prime[++k]=i; mu[i]=-1; } for ( int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){ np[prime[j]*i]= true ; if (i%prime[j]==0) break ; mu[prime[j]*i]=-mu[i]; } } } long long calculate( int n, int m){ long long s=0; for ( int i=1;i<=m;i++){ int t=n/i; for ( int j=i+1,last;j<(i<<1)&&j<=t;j=last+1){ last=min((i<<1)-1,t/(t/j)); s+=1LL*(last-j+1)*(t/j); } } return s; } long long solve( long long n){ long long ans=0,m= sqrt (n); for ( int i=1;i<=m;i++)ans+=1LL*mu[i]*calculate(n/i/i,m/i); return ans; } int main(){ make(); n=read(); printf ( "%lld\n" ,solve(n)); return 0; } |
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