BZOJ2671: Calc

Description

　　给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
　　1.1<=a<b<=N
　　2.a+b整除a*b

Input

　一行一个数N

Output

　一行一个数表示答案

Sample Input

Sample Output

HINT

数据规模和约定

Test N Test N

1 <=10 11 <=5*10^7

2 <=50 12 <=10^8

3 <=10^3 13 <=2*10^8

4 <=5*10^3 14 <=3*10^8

5 <=2*10^4 15 <=5*10^8

6 <=2*10^5 16 <=10^9

7 <=2*10^6 17 <=10^9

8 <=10^7 18 <=2^31-1

9 <=2*10^7 19 <=2^31-1

10 <=3*10^7 20 <=2^31-1

题解Here!

这是一道神题。。。

所以我不会做。。。

只能去抄题解。。。

厚颜无耻写文。。。

题目要求：

A n s = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [(i + j) | (i j)]

$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i+j)|(ij)]$

我们把那个

(i + j) | (i j)

$(i+j)|(ij)$ 单独提出来看。

这个推导的过程可能比较扯淡复杂。。。

设

d = g c d (i, j)

$d=gcd(i,j)$ ，那么原式即为

d (\frac{i}{d} + \frac{j}{d}) | (\frac{i j}{d^{2}}) d^{2}

$d(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d^2$

消去一个

d

$d$ ：

(\frac{i}{d} + \frac{j}{d}) | (\frac{i j}{d^{2}}) d

$(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d$

设

u = \frac{i}{d}, v = \frac{j}{d}

$u=\frac{i}{d},v=\frac{j}{d}$ ，则：

(u + v) | (u v) d

$(u+v)|(uv)d$

而我们知道这时

u + v

$u+v$ 与

u v

$uv$ 已经没有公约数了，不能再消去了。

于是变成了：

(u + v) | d

$(u+v)|d$

神奇吧。。。

我们注意到

(u + v) d <= n, u <= d, v <= d

$(u+v)d<=n,u<=d,v<=d$ ，所以有：

u, v \in [1, \sqrt{n}]

$u,v \in [1,\sqrt n]$

所以题目就转化为：求

\sqrt{n} \sum u = 1 u - 1 \sum v = 1 ⌊ \frac{n}{u + v} ⌋ [g c d (u, v) == 1]

$\sum_{u=1}^{\sqrt n}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{u+v}\rfloor[gcd(u,v)==1]$

我们看到了熟悉的东西：

[g c d (u, v) == 1]

$[gcd(u,v)==1]$

莫比乌斯反演！

于是：

\sqrt{n} \sum d = 1 μ (d) ⌊ \frac{\sqrt{n}}{d} ⌋ \sum u = 1 u - 1 \sum v = 1 ⌊ \frac{n}{(u + v) d^{2}} ⌋

$\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{u=1}^{\lfloor\frac{\sqrt n}{d}\rfloor}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{(u+v)d^2}\rfloor$

然后就可以愉快地跑了！

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 100010
using namespace std;
long long n;
int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN];
bool np[MAXN];
inline long long read(){
    long long date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
void make(){
    int m=MAXN-10;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(!np[i]){
            prime[++k]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
            np[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
            mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
}
long long calculate(int n,int m){
    long long s=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int t=n/i;
        for(int j=i+1,last;j<(i<<1)&&j<=t;j=last+1){
            last=min((i<<1)-1,t/(t/j));
            s+=1LL*(last-j+1)*(t/j);
        }
    }
    return s;
}
long long solve(long long n){
    long long ans=0,m=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)ans+=1LL*mu[i]*calculate(n/i/i,m/i);
    return ans;
}
int main(){
    make();
    n=read();
    printf("%lld\n",solve(n));
    return 0;
}