BZOJ2662: [BeiJing wc2012]冻结

Description

“我要成为魔法少女！”
“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”
“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符
卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？
比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关
键字来查询，会有很多有趣的结果。
例如，我们熟知的Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，
更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小
巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi
Homura、Sakuya Izayoi、„„
当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

我们考虑最简单的旅行问题吧：现在这个大陆上有 N 个城市，M 条双向的
道路。城市编号为 1~N，我们在 1 号城市，需要到 N 号城市，怎样才能最快地
到达呢？
这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、
Floyd-Warshall等算法来解决。
现在，我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通
过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间
就可以减少到原先的一半。需要注意的是：
1. 在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
2. 使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
3. 你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的
SpellCard 之情形下，从城市1 到城市N最少需要多长时间。

Input

第一行包含三个整数：N、M、K。
接下来 M 行，每行包含三个整数：Ai、Bi、Timei，表示存在一条 Ai与 Bi之
间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 Timei的时间。

Output

输出一个整数，表示从1 号城市到 N号城市的最小用时。

Sample Input

4 4 1
1 2 4
4 2 6
1 3 8
3 4 8

Sample Output

7
【样例1 解释】
在不使用 SpellCard 时，最短路为 1à2à4，总时间为 10。现在我们可
以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2à4 这条道路的时间减半，此时总
时间为7。

HINT

对于100%的数据：1 ≤ K ≤ N ≤ 50，M ≤ 1000。
1≤ Ai，Bi ≤ N，2 ≤ Timei ≤ 2000。
为保证答案为整数，保证所有的 Timei均为偶数。
所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

题解Here!

这个题正解据说是

$SPFA+DP$ ，但是我不会啊。。。

所以用分层图

$+SPFA$ 水了过去。。。

每层正常建图，相邻两层间建

$\frac{w}{2}$ 的边。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 3010
#define MAXM 1000010
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,k,s,t,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Graph{
    int next,to,w;
}a[MAXM<<1];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
int relax(int u,int v,int w){
    if(path[v]>path[u]+w){
        path[v]=path[u]+w;
        return 1;
    }
    return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w){
    a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
}
void spfa(){
    int u,v;
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n*(k+2);i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
    path[s]=0;
    vis[s]=true;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
            v=a[i].to;
            if(relax(u,v,a[i].w)&&!vis[v]){
                vis[v]=true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}
void work(){
    int ans=MAX+1;
    spfa();
    for(int i=1;i<=k+1;i++)ans=min(ans,path[i*t]);
    printf("%d\n",ans);
}
void init(){
    int u,v,w;
    n=read();m=read();k=read();
    s=1;t=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();w=read();
        for(int j=0;j<=k;j++){
            add(u+j*n,v+j*n,w);
            add(v+j*n,u+j*n,w);
        }
        for(int j=0;j<k;j++){
            add(u+j*n,v+(j+1)*n,w>>1);
            add(v+j*n,u+(j+1)*n,w>>1);
        }
    }
}
int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}