BZOJ2326: [HNOI2011]数学作业
Description
小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：
给定正整数 N 和 M要求计算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 ..N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。
例如，N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.
小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
Input
只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，1≤N≤10^18且1≤M≤10^9.
Output
仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。
Sample Input
13 13
Sample Output
4
题解Here!
看到$N<=10^{18}$，不是矩乘就是跟$N$无关。
当然这题不可能与$N$无关，那就矩乘。
首先，要推出一个线性递推的式子。
然而一开始我把题目看错了，推出了这样一个式子：$$f(i)=f(i-1)\times 10+i$$
觉得这不是沙茶题吗？
这是一个$flag$。。。
放到矩阵里就是：$$f(i)=f(i-1)\times 10+i-1+1$$
造出矩阵：$$\left[\begin{array}{}10&0&0\\1&1&0\\1&1&1 \end{array}\right]$$
我沾沾自喜的交了上去，以为能$1A$。
然后$WA\quad 0$。
$flag$不能乱立啊。。。
回头看题，我发现我就是个$zz$。。。
递推式应该是：$$f(i)=f(i-1)\times 10^k+i,\text{k为i的位数}$$
继续造矩阵：$$\left[\begin{array}{}10^k&0&0\\1&1&0\\1&1&1 \end{array}\right]$$
$10^k$的计算要分段，这段的实现可能会让你抓狂，忍住！慢慢改。
这样我们可以求出：$$Concatenate(1...9),Concatenate(10...99),Concatenate(100...999),...,Concatenate(10^k,N)$$
因为$k$的取值只有不到$20$种，我们可以直接枚举处理。
供应一组数据：
Input 948177742992423376 819143553 Output 578278753
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int k=0;
long long n,mod;
struct node{
long long a[5][5];
friend node operator +(node x,int k){
x.a[1][1]=1;
for(int i=1;i<=k;i++)x.a[1][1]*=10LL;
x.a[1][1]%=mod;
x.a[1][2]=x.a[1][3]=x.a[2][3]=0;
x.a[2][1]=x.a[2][2]=x.a[3][1]=x.a[3][2]=x.a[3][3]=1;
return x;
}
friend node operator *(const node x,const node y){
node ret;
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int j=1;j<=3;j++){
ret.a[i][j]=0;
for(int k=1;k<=3;k++){
ret.a[i][j]+=x.a[i][k]%mod*y.a[k][j]%mod;
ret.a[i][j]%=mod;
}
}
return ret;
}
friend node operator ^(node x,long long k){
node s;
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int j=1;j<=3;j++)
s.a[i][j]=(i==j?1:0);
while(k){
if(k&1)s=s*x;
x=x*x;
k>>=1;
}
return s;
}
}base[20],ans;
inline long long read(){
long long date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
long long mexp(long long a,long long b){
long long s=1;
while(b){
if(b&1)s=s*a;
a*=a;
b>>=1;
}
return s;
}
void work(){
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int j=1;j<=3;j++)
ans.a[i][j]=(i==j?1:0);
for(int i=1;i<=k;i++)ans=ans*base[i];
printf("%lld\n",ans.a[3][1]);
}
void init(){
long long x;
x=n=read();mod=read();
while(x){x/=10LL;k++;}
for(int i=1;i<k;i++){
base[i]=base[i]+i;
base[i]=base[i]^(mexp(10,i-1)*9LL);
}
base[k]=base[k]+k;
base[k]=base[k]^(n-mexp(10,k-1)+1);
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
