BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。
他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。
P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。
同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j
制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。
P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。
但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
5 4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
4
Sample Output
1
题解Here!
斜率优化的入门题，然而并不是我做的第一道斜率优化。。。
首先可以写出一个$DP$的递推式：$$dp[i]=\min_{1<=j<=i-1}{dp[j]+(\sum_{k=j+1}^ic_k+i-j-1-L)^2}$$
注意到$\sum_{k=j+1}^ic_k$可以预处理前缀和，于是变成了这样：$$dp[i]=\min_{1<=j<=i-1}{dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2}$$
又看到有个相同的式子$sum[i]+i$，继续设$sum[i]=\sum_{k=1}^ic_k+i$，注意这里的$sum[i]$的含义变啦！
于是又变成了这样：$$dp[i]=\min_{1<=j<=i-1}{dp[j]+(sum[i]-sum[j]-1-L)^2}$$
这个显然$O(n^2)$的，铁定$TLE$。
然后开始推限制：
设$j$比$k$的转移更优，则有：$$dp[j]+(sum[i]-sum[j]-1-L)^2<dp[k]+(sum[i]-sum[k]-1-L)^2$$
移项：$$(sum[i]-(sum[j]+1+L))^2-(sum[i]-(sum[k]+1+L))^2<dp[k]-dp[j]$$
拆开平方：$$sum[i]^2-2\times sum[i]\times (sum[j]+1+L)+(sum[j]+1+L)^2-(sum[i]^2-2\times sum[i]\times (sum[k]+1+L)+(sum[k]+1+L)^2)<dp[k]-dp[j]$$
合并同类项：$$2\times sum[i]\times((sum[k]+1+L)-(sum[j]+1+L))<dp[k]-dp[j]+(sum[k]+1+L)^2-(sum[j]+1+L)^2$$
设$f[i]=(sum[i]+1+L)^2$。
原式变成：$$2\times sum[i]\times(sum[k]-sum[j])<dp[k]-dp[j]+f[k]-f[j]$$
除过去：$$2\times sum[i]<\frac{dp[k]-dp[j]+f[k]-f[j]}{sum[k]-sum[j]}$$
然后就可以单调队列+斜率优化进行$DP$了。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 50010
#define MAX (1ll<<62)
using namespace std;
int n;
long long m,sum[MAXN],f[MAXN],dp[MAXN];
int head,tail,que[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline long long square(long long x){return x*x;}
inline double slope(int j,int k){
return (double)(dp[k]-dp[j]+f[k]-f[j])*1.00/(sum[k]-sum[j]);
}
void work(){
head=0;tail=0;
f[0]=(m+1)*(m+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail&&slope(que[head],que[head+1])<=sum[i]*2)head++;
dp[i]=dp[que[head]]+square(sum[i]-sum[que[head]]-1-m);
while(head<tail&&slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail],i))tail--;
que[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",dp[n]);
}
void init(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=read();
sum[i]=sum[i-1]+x;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
sum[i]+=i;
f[i]=square(sum[i]+1+m);
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
