LOJ#139. 树链剖分
题目描述
这是一道模板题。
给定一棵$n$个节点的树,初始时该树的根为 1 号节点,每个节点有一个给定的权值。下面依次进行 m 个操作,操作分为如下五种类型:
-
换根:将一个指定的节点设置为树的新根。
-
修改路径权值:给定两个节点,将这两个节点间路径上的所有节点权值(含这两个节点)增加一个给定的值。
-
修改子树权值:给定一个节点,将以该节点为根的子树内的所有节点权值增加一个给定的值。
-
询问路径:询问某条路径上节点的权值和。
-
询问子树:询问某个子树内节点的权值和。
输入格式
第一行为一个整数 n,表示节点的个数。
第二行 n 个整数表示第 i 个节点的初始权值 $a_i$。
第三行 $n-1$ 个整数,表示 $i+1$号节点的父节点编号$f_{i+1}(1\leqslant f_{i+1}\leqslant n)$。
第四行一个整数$m$,表示操作个数。
接下来 $m$行,每行第一个整数表示操作类型编号:$(1 \leqslant u, v \leqslant n)$
-
若类型为 $1$,则接下来一个整数 $u$,表示新根的编号。
-
若类型为 $2$,则接下来三个整数 $u,v,k$,分别表示路径两端的节点编号以及增加的权值。
-
若类型为 $3$,则接下来两个整数 $u,k$,分别表示子树根节点编号以及增加的权值。
-
若类型为 $4$,则接下来两个整数$u,v$,表示路径两端的节点编号。
-
若类型为 $5$,则接下来一个整数 $u$,表示子树根节点编号。
输出格式
对于每一个类型为 $4$ 或 $5$ 的操作,输出一行一个整数表示答案。
样例
样例输入
6
1 2 3 4 5 6
1 2 1 4 4
6
4 5 6
2 2 4 1
5 1
1 4
3 1 2
4 2 5
样例输出
15
24
19
数据范围与提示
对于 100% 的数据,$1\leqslant n,m,k,a_i\leqslant 10^5$。数据有一定梯度。
题解Here!
这个题如果没有换根就是一道沙茶题。。。
如果是沙茶题我还会写博客吗。。。
看到换根,想起了$LCT$,但是这个$LCT$还要维护子树信息,简直毒瘤啊。。。
所以我们选择树链剖分+线段树。
线段树是区间修改,区间加的利器!
当然你真的要用$LCT$我也不拦着。。。
没有换根很好做对吧。
考虑换根对每个操作的影响。
手玩几个小数据之后发现,如果我们以$1$为根建树,换根对$2,4$操作是没有影响的!
所以直接套上板子。
那子树怎么办?
我们不是以$1$为根建树了吗?
那就分类讨论一下$root$是否在子树内就好。
1. 如果$x==root$,那就是修改/查询整棵树,直接$update(1,n),query(1,n)$就好。
2. 如果$LCA(x,root)!=x$,即$id[x]>id[root]\ or\ id[root]>id[x]+size[x]-1$,那么修改/查询跟$root$没有关系,直接修改/查询$x$的子树$[id[x],id[x]+size[x]-1]$就好。
3. 如果$LCA(x,root)==x$,即$id[x]<=id[root]\ and\ id[root]<=id[x]+size[x]-1$,这时比较麻烦。
我们已经知道$deep[root]>deep[x]$了。
那么我们发现,换完根后,所改变的只有$x$的所有子树中,包含$root$的那颗子树!
那么我们可以找到$x$的所有子树中,包含$root$的那颗子树的根节点,也就是$x$的某个儿子,设为$y$。
然后对除了$y$的子树$[id[y],id[y]+size[y]-1]$之外的所有节点进行修改/查询。
也就是对$[1,id[y]-1],[id[y]+size[y],n]$这两个区间进行修改/查询。
那怎么找$y$呢?
我们可以从$root$开始暴力跳链,直到重链的顶端的父亲是$x$。
如果重链的顶端的深度大于了$x$的深度,那么说明$x$与重链的顶端在一条重链上,直接返回$x$的重儿子$son[x]$即可。
于是这个问题就完美解决了!
妈妈再也不用担心树剖做不了换根了!
$UPDATE$:原来的板子有错。。。
但是我很好奇它是怎么过的。。。
于是修改了一下。
但是原来的$666ms$的提交没有了555.。。
附代码:
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #define LSON rt<<1 #define RSON rt<<1|1 #define DATA(x) b[x].data #define SIGN(x) b[x].c #define LSIDE(x) b[x].l #define RSIDE(x) b[x].r #define WIDTH(x) (RSIDE(x)-LSIDE(x)+1) #define MAXN 100010 using namespace std; int n,m,c=1,d=1,root; int val[MAXN],head[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],pos[MAXN],top[MAXN]; struct Tree{ int next,to; }a[MAXN<<1]; struct Segment_Tree{ long long data,c; int l,r; }b[MAXN<<2]; inline int read(){ int date=0,w=1;char c=0; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();} return date*w; } inline void pushup(int rt){ DATA(rt)=DATA(LSON)+DATA(RSON); } inline void pushdown(int rt){ if(!SIGN(rt)||LSIDE(rt)==RSIDE(rt))return; SIGN(LSON)+=SIGN(rt); DATA(LSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(LSON); SIGN(RSON)+=SIGN(rt); DATA(RSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(RSON); SIGN(rt)=0; } void buildtree(int l,int r,int rt){ LSIDE(rt)=l;RSIDE(rt)=r;SIGN(rt)=0; if(l==r){ DATA(rt)=val[pos[l]]; return; } int mid=l+r>>1; buildtree(l,mid,LSON); buildtree(mid+1,r,RSON); pushup(rt); } void update(int l,int r,long long c,int rt){ if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){ SIGN(rt)+=c; DATA(rt)+=c*WIDTH(rt); return; } pushdown(rt); int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1; if(l<=mid)update(l,r,c,LSON); if(mid<r)update(l,r,c,RSON); pushup(rt); } long long query(int l,int r,int rt){ long long ans=0; if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r)return DATA(rt); pushdown(rt); int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1; if(l<=mid)ans+=query(l,r,LSON); if(mid<r)ans+=query(l,r,RSON); return ans; } inline void add(int x,int y){ a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++; a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++; } void dfs1(int rt){ son[rt]=0;size[rt]=1; for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){ int will=a[i].to; if(!deep[will]){ deep[will]=deep[rt]+1; fa[will]=rt; dfs1(will); size[rt]+=size[will]; if(size[will]>size[son[rt]])son[rt]=will; } } } void dfs2(int rt,int f){ id[rt]=d++;pos[id[rt]]=rt;top[rt]=f; if(son[rt])dfs2(son[rt],f); for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){ int will=a[i].to; if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])dfs2(will,will); } } int check(int x){ if(x==root)return -1; if(id[x]<=id[root]&&id[root]<=id[x]+size[x]-1){ int y=root; while(deep[y]>deep[x]){ if(fa[top[y]]==x)return top[y]; y=fa[top[y]]; } return son[x]; } return 0; } void update_path(int x,int y,int k){ while(top[x]!=top[y]){ if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y); update(id[top[x]],id[x],k,1); x=fa[top[x]]; } if(deep[x]>deep[y])swap(x,y); update(id[x],id[y],k,1); } void update_subtree(int x,int k){ int y=check(x); if(y==-1)update(1,n,k,1); else if(y==0)update(id[x],id[x]+size[x]-1,k,1); else{ update(1,n,k,1); update(id[y],id[y]+size[y]-1,-k,1); } } void query_path(int x,int y){ long long s=0; while(top[x]!=top[y]){ if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y); s+=query(id[top[x]],id[x],1); x=fa[top[x]]; } if(deep[x]>deep[y])swap(x,y); s+=query(id[x],id[y],1); printf("%lld\n",s); } void query_subtree(int x){ long long s; int y=check(x); if(y==-1)s=query(1,n,1); else if(y==0)s=query(id[x],id[x]+size[x]-1,1); else s=query(1,n,1)-query(id[y],id[y]+size[y]-1,1); printf("%lld\n",s); } void work(){ int f,x,y,k; while(m--){ f=read();x=read(); switch(f){ case 1:root=x;break; case 2:{ y=read();k=read(); update_path(x,y,k); break; } case 3:{ k=read(); update_subtree(x,k); break; } case 4:{ y=read(); query_path(x,y); break; } case 5:query_subtree(x);break; } } } void init(){ int x; n=read(); for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read(); for(int i=2;i<=n;i++){ x=read(); add(i,x); } m=read(); root=1; deep[1]=1; dfs1(1); dfs2(1,1); buildtree(1,n,1); } int main(){ init(); work(); return 0; }