BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林
Description
为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。
Input
第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。
接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。
其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。
注意数据中可能包含重边与自环。
Output
输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。
Sample Input
【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1
Sample Output
【输出样例1】
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。
HINT
2<=n<=50,000
0<=m<=100,000
1<=ai ,bi<=50,000
题解Here!
乍一看，怎么看怎么像最短路。。。
然后这题真的能拿最短路跑。。。
联想最小生成树，以需要精灵b的数量为要求，把边排序。
然后只需要考虑精灵a的数量，根据精灵a的数量建图，用d数组储存这条路径上的精灵a的最小值，跑spfa。
d[n]就是到n的最小需要精灵a的个数。
根据精灵b排好序的边，一点一点的加，加一次跑一遍spfa，更新最小值。
但是加一遍跑一遍肯定TLE啊。
再想优化方法——发现加一遍跑一遍根本没必要！
因为边是排好序的，所以前面的边d的值肯定是最小值，无需更新，所以就不超时了。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 100010
#define MAX 999999999
using namespace std;
queue<int> q;
int n,m,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node1{
int next,to,a,b;
}a[MAXN<<1];
struct node2{
int u,v,w1,w2;
}b[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
bool cmp(const node2 &x,const node2 &y){
if(x.w1==y.w1)
return x.w2<y.w2;
return x.w1<y.w1;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
if(max(path[u],w)<path[v]){
path[v]=max(path[u],w);
return 1;
}
return 0;
}
void add(int u,int v,int w1,int w2){
a[c].to=v;a[c].a=w1;a[c].b=w2;
a[c].next=head[u];
head[u]=c++;
a[c].to=u;a[c].a=w1;a[c].b=w2;
a[c].next=head[v];
head[v]=c++;
}
void spfa(int s,int t){
int u,v;
vis[s]=vis[t]=true;
q.push(s);q.push(t);
while(!q.empty()){
u=q.front();
q.pop();
vis[u]=false;
for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
v=a[i].to;
if(relax(u,v,a[i].b)&&!vis[v]){
vis[v]=true;
q.push(v);
}
}
}
}
void work(){
int ans=MAX;
for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
path[1]=0;
vis[1]=true;
q.push(1);
for(int i=1;i<=m;i++){
add(b[i].u,b[i].v,b[i].w1,b[i].w2);
spfa(b[i].u,b[i].v);
ans=min(ans,b[i].w1+path[n]);
}
printf("%d\n",ans==MAX?-1:ans);
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){b[i].u=read();b[i].v=read();b[i].w1=read();b[i].w2=read();}
sort(b+1,b+m+1,cmp);
work();
return 0;
}
但是正解不是这个，正解是LCT。
将边按照a排序，然后加一条权值为b的边，动态维护最小生成树。
边权的处理参照：BZOJ2594: [Wc2006]水管局长数据加强版
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 200010
#define MAX 2147483646
using namespace std;
int n,m;
int head[MAXN],fa[MAXN],val[MAXN];
struct node{
int u,v,x,y;
}a[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
namespace LCT{
int top,stack[MAXN];
struct Link_Cut_Tree{
int f,flag,son[2];
int v;
}a[MAXN];
inline bool isroot(int rt){
return a[a[rt].f].son[0]!=rt&&a[a[rt].f].son[1]!=rt;
}
inline void pushup(int rt){
if(!rt)return;
a[rt].v=rt;
if(a[rt].son[0]&&val[a[a[rt].son[0]].v]>val[a[rt].v])a[rt].v=a[a[rt].son[0]].v;
if(a[rt].son[1]&&val[a[a[rt].son[1]].v]>val[a[rt].v])a[rt].v=a[a[rt].son[1]].v;
}
inline void pushdown(int rt){
if(!rt||!a[rt].flag)return;
a[a[rt].son[0]].flag^=1;a[a[rt].son[1]].flag^=1;a[rt].flag^=1;
swap(a[rt].son[0],a[rt].son[1]);
}
inline void turn(int rt){
int x=a[rt].f,y=a[x].f,k=a[x].son[0]==rt?1:0;
if(!isroot(x)){
if(a[y].son[0]==x)a[y].son[0]=rt;
else a[y].son[1]=rt;
}
a[rt].f=y;a[x].f=rt;a[a[rt].son[k]].f=x;
a[x].son[k^1]=a[rt].son[k];a[rt].son[k]=x;
pushup(x);pushup(rt);
}
void splay(int rt){
top=0;
stack[++top]=rt;
for(int i=rt;!isroot(i);i=a[i].f)stack[++top]=a[i].f;
while(top)pushdown(stack[top--]);
while(!isroot(rt)){
int x=a[rt].f,y=a[x].f;
if(!isroot(x)){
if((a[y].son[0]==x)^(a[x].son[0]==rt))turn(rt);
else turn(x);
}
turn(rt);
}
}
void access(int rt){
for(int i=0;rt;i=rt,rt=a[rt].f){
splay(rt);
a[rt].son[1]=i;
pushup(rt);
}
}
inline void makeroot(int rt){access(rt);splay(rt);a[rt].flag^=1;}
int find(int rt){
access(rt);splay(rt);
while(a[rt].son[0])rt=a[rt].son[0];
return rt;
}
inline void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
inline void link(int x,int y){makeroot(x);a[x].f=y;}
inline void cut(int x,int y){split(x,y);if(a[y].son[0]==x&&a[x].f==y&&!a[x].son[1])a[y].son[0]=a[x].f=0;}
inline int query(int x,int y){split(x,y);return a[y].v;}
}
bool cmp(const node &x,const node &y){
return x.y<y.y;
}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void uniun(int x,int y){x=find(x);y=find(y);if(x!=y)fa[y]=x;}
void work(){
int u,v,x,y,ans=MAX;
for(int i=1;i<=m;i++){
u=a[i].u;v=a[i].v;x=a[i].x;y=a[i].y;
bool flag=true;
if(find(u)==find(v)){
int w=LCT::query(u,v);
if(val[w]>x){
LCT::cut(a[w-n].u,w);
LCT::cut(w,a[w-n].v);
}
else flag=false;
}
else uniun(u,v);
if(flag){
LCT::link(u,i+n);
LCT::link(i+n,v);
}
if(find(1)==find(n))ans=min(ans,a[i].y+val[LCT::query(1,n)]);
}
printf("%d\n",ans==MAX?-1:ans);
}
void init(){
int u,v,x,y;
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
a[i].u=read();a[i].v=read();
a[i].x=read();a[i].y=read();
}
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n+m;i++)LCT::a[i].v=fa[i]=i;
for(int i=n+1;i<=n+m;i++)val[i]=a[i-n].x;
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
