李超树学习笔记

先说一些题外话

其实很早就有这些这个的欲望了。。。

但是由于种种原因（包括班主任），一直咕到现在。。。

咕咕咕。。。

不能再咕下去了！

于是熬夜来写这个。

步入正题

先看一个例题：BZOJ1568: [JSOI2008]Blue Mary开公司

其实这个算是裸题了。。。

当然我做的第一道李超树的题不是这个。。。

题目要求区间内的所有直线的最高点的最大值。

并且带插入。

裸的暴力$O(nm)$对吧。

然后呢？

第一想法是——分治！

将一个区间$[l,r]$分成$[l,mid],[mid+1,r]$两个区间，递归求解。

合并答案就取最大值就好。

这样，我们便得出来一个$O(mn\log_2n)$的算法。。。

你会说：“这个算法复杂度还没暴力跑得快，我要他干嘛？？？”

诚然，暴力跑得比它快得多。。。

但是你觉得这个算法如果没有用的话，我会讲它吗？

我们回头看我们分治的过程：将区间一分为二，且区间大小相等。

如果你有像我一样的超高的$DS$水平，你就会发现这个过程和某个数据结构的过程好像啊！

没错！这个数据结构就是——线段树！

是不是很厉害！

为什么？因为我们找到了一种数据结构来维护这玩意了！

所以线段树每个点存区间最大值就好。

$BUT$！这么做还有一个问题：插入线段怎么办？

你会想：用最大值覆盖不就好了？

那么问题又来了：线段是有斜率的。

也就是说，在不同的点，线段的函数值是不同的。

你怎么知道当前的点的函数值是多少呢？

可能你又会想：那我就暴力带值进线段，把函数值算出来不就好了？

那么恭喜，你离深渊越来越近了。

你会发现你的每一次维护都会涉及到最多$4n$个节点。

那和暴力有什么区别？？？

所以这个方案被我们舍弃了。

那怎么办呢？

对于这个问题，国家队队爷李超提出一种解决办法：

我们把线段树中存的值从区间最大值改为区间中值最大的直线。

每个节点至少会存一条直线。

但是多条直线呢？

我们可以打一个标记，说明再这个区间内至少有一个两条直线的转折点。

然后递归插入直线。

具体做法是这样的：

假设原来在$[l,r]$这个区间内只有一条直线$f_1(x)=k_1x+b_1$。

现在要在区间内插入一条新直线$f_2(x)=k_2x+b_2$。

然后便是分类讨论：

1. 如果$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：

说明$f_2(x)$在这个区间内被$f_1(x)$吊打，那么不做任何操作；

2. 如果$f_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)$：

说明$f_1(x)$在这个区间内被$f_2(x)$吊打，那么直接替换即可；

3. 如果$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)\text{或者}f_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：

说明两直线在这个区间内有交点。

这时，我们取区间中点$mid$，判断两直线在$[l,mid]$之间是否相交：

若是，则右区间$[mid+1,r]$赋为在上方的曲线，左区间递归求解；

否则，左区间$[l,mid]$赋为在上方的曲线，右区间递归求解。

这样，我们的一次插入直线操作完成。

而递归修改最多会涉及到$\log_2n$个节点。

所以一次修改的复杂度上限为$O(\log_2^2n)$。

然后，这题还需要用到标记永久化。

即我们不下传标记，在求区间最大值的时候，每次访问到一个被询问区间包含的区间，把答案和这个区间所维护的线段的最大值取$max$。

然后这个题就做完了。

不得不说非常的机智啊！

所以这种线段树被称为——李超树。

复杂度$O(m\log_2^2n)$。

疯狂维护半平面交。。。

代码的话。。。可以去题解里找：

BZOJ1568: [JSOI2008]Blue Mary开公司

再推荐两道练手题：

类似的板子题：

BZOJ3165: [Heoi2013]Segment

我做的第一道李超树题：（万事开头难。。。）

BZOJ4515: [Sdoi2016]游戏

后记

其实李超树不建议在考场上写。

因为这玩意的修改很容易写炸。。。

并且查错及其恶心。。。

对于大多数$DS$能力不是极其强悍的$OIer$来说，性价比并不是很高。

因为一般这种题的部分分都比正解的性价比高。。。

所以不是队爷不写正解。。。

而对于我这个菜鸡$AFO$选手来说，可以浪一浪。。。

出题人，我劝你善良。。。