BZOJ3611: [Heoi2014]大工程
Description
国家有一个大工程，要给一个非常大的交通网络里建一些新的通道。
我们这个国家位置非常特殊，可以看成是一个单位边权的树，城市位于顶点上。
在 2 个国家 a,b 之间建一条新通道需要的代价为树上 a,b 的最短路径。
现在国家有很多个计划，每个计划都是这样，我们选中了 k 个点，然后在它们两两之间 新建 C(k,2)条 新通道。
现在对于每个计划，我们想知道：
1.这些新通道的代价和
2.这些新通道中代价最小的是多少
3.这些新通道中代价最大的是多少
Input
第一行 n 表示点数。
接下来 n-1 行，每行两个数 a,b 表示 a 和 b 之间有一条边。
点从 1 开始标号。 接下来一行 q 表示计划数。
对每个计划有 2 行，第一行 k 表示这个计划选中了几个点。
第二行用空格隔开的 k 个互不相同的数表示选了哪 k 个点。
Output
输出 q 行，每行三个数分别表示代价和，最小代价，最大代价。
Sample Input
10
2 1
3 2
4 1
5 2
6 4
7 5
8 6
9 7
10 9
5
2
5 4
2
10 4
2
5 2
2
6 1
2
6 1
2 1
3 2
4 1
5 2
6 4
7 5
8 6
9 7
10 9
5
2
5 4
2
10 4
2
5 2
2
6 1
2
6 1
Sample Output
3 3 3
6 6 6
1 1 1
2 2 2
2 2 2
6 6 6
1 1 1
2 2 2
2 2 2
HINT
n<=1000000
q<=50000并且保证所有k之和<=2*n
题解Here!
看到$\sum k\leq 2\times 10^6$就已经确定是在虚树上跑$DP$了。。。
不知道虚树的可以看这个：
虚树学习笔记
然后看看$DP$怎么搞。
第一问显然是直接对每一条边计算它的贡献。
设$num[x]$表示$x$的子树内有多少个选中的点，一共有$m$个选中的点。
于是每一条边会被$num[x]\times(m-num[x])$条路径覆盖。
为什么？
因为我们相当于从$num[x],\text{即}x\text{的子树中}$选一个点，再在$m-num[x],\text{即}x\text{的子树外}$选一个点。
然后把所有的贡献加起来就是答案。
记得开$logn\ long$。
对于二、三两问，其实他俩的道理是类似的。
设$f[x]$表示在$x$的子树内距离$x$最近的选中的点到$x$的距离，$g[x]$表示在$x$的子树内距离$x$最远的选中的点到$x$的距离。
维护长这个样：
$$f[x]=\min\{\ f[v]+dis(x,v)\ |\ v\in son_x\ \}$$
$$g[x]=\max\{\ g[v]+dis(x,v)\ |\ v\in son_x\ \}$$
答案怎么更新呢？
其实很简单，如果在$x$的子树中已经遍历过的点中有选中的点，则更新答案：
$$Ans\_min=\min\{\ f[x]+dix(x,v)+f[v]\ |\ v\in son_x\ \}$$
$$Ans\_max=\max\{\ g[x]+dix(x,v)+g[v]\ |\ v\in son_x\ \}$$
于是这两个问题也解决了。
$LCA$的话，树剖就好。
剩下的不多说，可以看代码。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000010
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,q,c=1,d=1,e=1;
int head_a[MAXN],head_b[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],top[MAXN];
int top_stack,minn,maxn,maxi,h[MAXN],stack[MAXN],f[MAXN],g[MAXN],num[MAXN];
long long sum;
bool choose[MAXN];
struct Tree{
int next,to;
}a[MAXN<<1];
struct New_Tree{
int next,to,w;
}b[MAXN<<1];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline bool cmp(const int &p,const int &q){
return id[p]<id[q];
}
inline void add_a(int x,int y){
a[c].to=y;a[c].next=head_a[x];head_a[x]=c++;
a[c].to=x;a[c].next=head_a[y];head_a[y]=c++;
}
inline void add_b(int u,int v,int w){
b[e].to=v;b[e].w=w;b[e].next=head_b[u];head_b[u]=e++;
}
void dfs1(int rt){
son[rt]=0;size[rt]=1;
for(int i=head_a[rt];i;i=a[i].next){
int will=a[i].to;
if(!deep[will]){
deep[will]=deep[rt]+1;
fa[will]=rt;
dfs1(will);
size[rt]+=size[will];
if(size[will]>size[son[rt]])son[rt]=will;
}
}
}
void dfs2(int rt,int f){
id[rt]=d++;top[rt]=f;
if(son[rt])dfs2(son[rt],f);
for(int i=head_a[rt];i;i=a[i].next){
int will=a[i].to;
if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])dfs2(will,will);
}
}
int LCA(int x,int y){
while(top[x]!=top[y]){
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
return x;
}
void rebuild(){
int x,dis,lca;
top_stack=1;
stack[top_stack]=1;
sort(h+1,h+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++){
choose[h[i]]=true;
if(h[i]==1)continue;
x=h[i];
lca=LCA(x,stack[top_stack]);
while(top_stack>1&&deep[stack[top_stack-1]]>deep[lca]){
dis=deep[stack[top_stack]]-deep[stack[top_stack-1]];
add_b(stack[top_stack-1],stack[top_stack],dis);
stack[top_stack--]=0;
}
if(deep[lca]<deep[stack[top_stack]]){
dis=deep[stack[top_stack]]-deep[lca];
add_b(lca,stack[top_stack],dis);
stack[top_stack--]=0;
}
if(deep[lca]>deep[stack[top_stack]])stack[++top_stack]=lca;
stack[++top_stack]=x;
}
while(top_stack>1){
dis=deep[stack[top_stack]]-deep[stack[top_stack-1]];
add_b(stack[top_stack-1],stack[top_stack],dis);
stack[top_stack--]=0;
}
}
void solve(int rt){
num[rt]=choose[rt];g[rt]=0;f[rt]=(choose[rt]?0:MAX);
int will,w;
for(int i=head_b[rt];i;i=b[i].next)solve(b[i].to);
for(int i=head_b[rt];i;i=b[i].next){
will=b[i].to;w=b[i].w;
sum+=1LL*(m-num[will])*num[will]*w;
if(num[rt]){
minn=min(minn,f[rt]+w+f[will]);
maxn=max(maxn,g[rt]+w+g[will]);
}
f[rt]=min(f[rt],f[will]+w);
g[rt]=max(g[rt],g[will]+w);
num[rt]+=num[will];
}
head_b[rt]=0;choose[rt]=false;
}
void work(){
while(q--){
e=1;sum=maxn=0;minn=MAX;
m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)h[i]=read();
rebuild();
solve(1);
printf("%lld %d %d\n",sum,minn,maxn);
}
}
void init(){
int x,y;
n=read();
for(int i=1;i<n;i++){
x=read();y=read();
add_a(x,y);
}
q=read();
deep[1]=1;
dfs1(1);
dfs2(1,1);
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
