BZOJ4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改
Description
曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。
超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。
现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求其发射的粒子流的威力之和模2333。
Input
第一行一个整数t。表示数据组数。
之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。
k<=n<=10^18，t<=10^5
Output
t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。
Sample Input
1
5 5
5 5
Sample Output
32
题解Here!
组合数还带质数取模，当然用$Lucas$！
前置技能——$Lucas$定理：$$C_{n}^{m}\%p=C_{n/p}^{m/p}\times C_{n\%p}^{m\%p}\%p$$
题目要求：$$\sum_{i=0}^kC_{n}^i\%p$$
设$F(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i$。
则：$$F(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i=\sum_{i=0}^kC_{n/p}^{i/p}\times C_{n\%p}^{i\%p}$$
这个东西好熟悉啊。。。
没错！这玩意包含一个式子：$n/p$！
这是啥？
知道莫比乌斯反演就会知道这玩意是数论分块的标志。
于是：
$$F(n,k)=C_{n/p}^0\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+C_{n/p}^1\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+\cdots+C_{n/p}^{k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i$$
前面有$0$到$k/p-1$这些整块，先单独挑出来搞事。
我们发现它们有共同的系数$\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i$。
于是我们可以将$\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i$提出来：
$$\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i\times (C_{n/p}^0+C_{n/p}^1+...C_{n/p}^{k/p-1})$$
再一波操作就成了：
$$F(n\%p,p-1)\times F(n/p,k/p-1)$$
再加上那个不完整的块：
$$\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i=F(n\%p,k\%p)$$
所以最终我们得到了一个式子：
$$F(n,k)=F(n\%p,p-1)\times F(n/p,k/p-1)+C_{n/p}^{k/p}\times F(n\%p,k\%p)$$
而$n\%p,k\%p\leq 2333$。
所以$F(n\%p,p-1),F(n\%p,k\%p)$可以直接预处理出来。
至于那个$C_{n/p}^{k/p}$就丢给了$Lucas$。
时间复杂度$O(p^2+T\log_{2333}^2n)$。
一开始把数组开小了还$RE\times3$。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 2510
#define MOD 2333LL
using namespace std;
long long n,k;
long long C[MAXN][MAXN],F[MAXN][MAXN];
inline long long read(){
long long date=0;char c=0;
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date;
}
void make(){
int m=MAXN-10;
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
}
for(int i=0;i<=m;i++){
F[i][0]=1;
for(int j=1;j<=m;j++)F[i][j]=(F[i][j-1]+C[i][j])%MOD;
}
}
long long Lucas(long long n,long long m){
if(n<m)return 0;
if(m==0||m==n)return 1;
if(m==1||m==n-1)return n;
return C[n%MOD][m%MOD]*Lucas(n/MOD,m/MOD)%MOD;
}
long long solve(long long n,long long k){
if(k<0)return 0;
if(n==0||k==0)return 1;
if(n<MOD&&k<MOD)return F[n][k];
return (solve(n/MOD,k/MOD-1)*F[n%MOD][MOD-1]%MOD+Lucas(n/MOD,k/MOD)*F[n%MOD][k%MOD]%MOD)%MOD;
}
int main(){
int t=read();
make();
while(t--){
n=read();k=read();
printf("%lld\n",solve(n,k));
}
return 0;
}
