数论基础
数学
//本篇为学习记录，会一直更新
常见符号：
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整除符号：\(x\) \(|\) \(y\)， \(x\)整除\(y\)
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取模符号：\(x\) \(mod\) \(y\)， \(x\)除以\(y\) 的余数
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互质符号： \(x\) \(\bot\) \(y\)， \(x\)除以\(y\) 的余数
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最大公约数：\(gcd(x,y)\)，简写为\((x,y)\)
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最小公倍数：\(lcm(x,y)\)，简写为\(\left[x,y\right]\)
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求和符号：\(\sum\)
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求积符号：\(\prod\)
数论基础：
1）素数判定：
如果存在一个整数\(k\)，使得\(a=kd\)，则称\(d\)整除\(a\)，记作\(d\) \(|\) \(a\)，即\(a\)是\(d\)的倍数，\(k\)叫做他们的约数
那么如果除了\(1\)和它本身外，不存在任意的\(k\)，使得\(d\) \(|\) \(a\)，那么就叫这个\(a\)为素数（质数）
\(1\)既不是质数也不是合数
素数的判定方法：
1. \(O(n)\)
bool is_prime(int n)
{
int flag=0;
for(int i=2;i<n;i++)
{
if(n%i==0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag) return 0;
else return 1;
}
2.\(O(sqrt(n))\)
因为质数的分布是以\(sqrt(n)\)为界限对称分布的，所以只去遍历\((2-sqrt(n))\)就可以得到所有的约数
bool is_prime(int n)
{
int flag=0;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag) return 0;
else return 1;
}
2) 素数筛
假设\(n=1000000\)，如果我们想要知道\(1-n\)之间有多少个素数，分别是多少，很明显，直接对每一个数去判断他是否是质数的时间复杂度是\(o(n*sqrt(n))\)
对于\(1000000\)的数据规模预处理也是有可能 tle 的，所以我们并不考虑这样的预处理方式
对于\(i\in[1,n]\)的每一个数\(i\)，如果\(i\)是一个合数的话，只让他被最小的质因子筛一次，时间复杂度\(O(n)\)
每次我们遍历\([2,n]\) 的每一个数，如果遍历到了\(i\) 那就证明他已经被比他小的数筛过了，如果没有被标记，那就证明他是一个质数，然后我们遍历已经被筛过的质数，把他的倍数全都标记上，如果\(i\%prime[j]==0\)，那\(i=prime[j]*x\) ,下一次循环的\(i*prime[j+1]=prime[j]*x*prime[j+1]\) ，但\(prime[j]\)一定比\(prime[j+1]\)小，所以就不用再筛下去了，\(i*prime[j+1]\)一定被筛过了
int vis[maxn],prime[maxn],cnt=0;
void init(int n)
{
vis[0]=1;
vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;
for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
// 质数的vis=0，prime下标从0开始
3) 同余式
如果两个数\(a,b\)在模\(n\)意义下的答案相等，那么我们就说\(a\)和\(b\)对模\(n\)同余，记作\(a \equiv b\)
4) Wilson定理（威尔逊定理）
当且仅当\(p\)为素数时 \((p-1)!\equiv-1(mod\ p)\)
5) Fermat小定理（费马小定理）
如果\(p\)是一个素数，且\((0<a<p)\) 那么存在\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)
证明：
\(1*a\%p=a_{1}\)
\(2*a\%p=a_{2}\)
\(\dots\)
\((p-1)*a\%p=a_{p-1}\)
进行累乘
\((p-1)!*a^{p-1}\%p=(p-1)!\)
同除\((p-1)!\) 得\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)
[关于为什么\(a_1*a_2* \dots *a_{p-1}=(p-1)!\)的解释] ：
对于$i\in [1,p-1] $ 有\(a*i\%p\equiv b\)
\((a*i\%p-b+p)\%p\equiv 0\)
\((a*i-b)\ |\ p\)
如果想找到另一个\(i'\)使得\(a*i'\%p\equiv b\) 那么只有\(i'=i+p\)，但\(i+p>p-1\) 所以不存在这样的\(i'\)
所以对于$i\in [1,p-1] $ 集合\(\left \{a_1,a_2, \dots,a_{p-1} \right \}\)等同于集合\(\left \{1,2,\dots,p-1 \right \}\)
则\(a_1*a_2* \dots *a_{p-1}=(p-1)!\)
5) Euler定理（欧拉定理）
欧拉定理也是费马小定理的一个推广
我们定义\(\varphi (n)\)是\(i\in [1,n]\)中有多少\(i\)使\(gcd(n,i)=1\)
如果\(gcd(a,p)=1\) 那么\(a^{\varphi(p)} \equiv 1(mod\ p)\)
(当\(p\)是素数时，很明显\(\varphi(p)=p-1\)，就可以得到费马小定理了)
定理的证明和Fermat小定理几乎相同，只是要考虑的式子变成了所有与m互素的数的乘积
5) Fermat素数测试
Fermat素数测试属于一种随机算法
对于费马小定理来说，人们发现他的逆命题并不成立，比如\(2^{560}\%561\equiv1\)但\(561\)并不是个素数，\(561=11*51\)
人们把这样的数\(n\)叫做伪素数，即\(2^{(n-1)}-1\ |\ n\)
对他进行推广，把\(2\)替换为任意的素数\(a\)， 满足\(a^{(n-1)}\%n=1\)的合数\(n\)叫做以 \(a\) 为底的伪素数。
不满足\(a^{(n-1)}\%n=1\) 的\(n\)一定不是素数，我们一般是随机选取有限个数的底数 a ，对 n 进行素性测试。若全部满足，则认为数字 n 是质数，若有一个不满足，则认为数字 n 不是质数
这样的判断在一定程度上已经足够准确了
但，对于所有小于 \(n\) 的底数 \(a\)，都满足\(a^{(n-1)}\%n=1\) 的数。（前\(10\)亿个数中，仅有\(600\)多个这样的数存在）这样的数叫做Carmichael数
利用二次探测定理可以对上面的素数判定算法作进一步改进,以避免将Carmichael数当作素数，而用这种方式优化过的素数测试算法叫做Miller_Rabin素数测试算法
