小m序列产生—简单易用的伪随机序列

线性反馈移位寄存器（LFSR）是产生m序列的原型，m序列有强自相关性和低互相关性（体现在双极性化后，相关运算后的峰均比），其序列长度为(2^n)-1，每一个序列元素都对应一个寄存器组的状态。

生成m序列的关键因素有：阶数（同时决定了反馈逻辑），种子（寄存器初始状态）。

这里规定：移位操作是从MSB向LSB移位，MSB被反馈值覆盖，LSB作为输出并被相邻高位覆盖（对应Verilog语法中reg）。或者，移位从大下标到小下标进行（如C中长度为6的数组stat，stat[5]被反馈值覆盖，stat[0]作为输出并被stat[1]覆盖）。

一、阶数。

　重要的概念是本原多项式（Primitive Polynomial），本原多项式可以帮助我们确定反馈逻辑。

　本原多项式表：（8进制表示即将2进制表示从LSB起每3个bit划分为一个数码）

　

　来源：https://wenku.baidu.com/view/045de58a680203d8ce2f24b8.html

　举例说明：6阶本原多项式为：，通过以下的映射规则可以确定反馈逻辑：

　（1）说明：多项式从幂次最高位到幂次最低位，共有7位，而寄存器有6个。对于n阶本原多项式，必含有和项。

　（2）多项式中，项不是反馈逻辑的输入，其余项对应到寄存器/数组的对应下标，作为反馈逻辑输入。

　多项式和LFSR的对应关系：

　

　再举一例：12阶本原多项式为：，对应LFSR为：

　

 

二、种子。

　种子是寄存器组的初始状态，注意种子不能是全0，否则状态会停留在全0.

 

 三、关于m序列的相关性。

　相关运算之前，对m序列做了双极性处理（1-->+1，0-->-1）。

　1、自相关性。（6阶，种子0x32）

　

　这个自相关结果的峰均比为7875，约合38.96dB.（相关运算的输出信号以电压平方为单位，所以用了10倍log10？）

　2、互相关性：相同阶数序列间的互相关。

　同一阶数的，不同种子的m序列其实是循环移位的关系，所以这些m序列的互相关可以有“相位”的概念。以6阶为例：

　种子为0x32和0x39互相关：（这两个状态为相邻状态，0x32下一个状态是0x39）

　

　这两个序列相关性非常高，其实0x39序列就是就是把0x32序列的第一位放到末位，其余完全一样。

　种子为0x32和0x19互相关：（这两个状态为远离的状态，0x32的后31个状态是0x19）

　

 　按寄存器状态来看，序列产生过程共有63个状态，0x32和0x19状态相隔31个状态。得到的相关峰幅度很接近。

　3、互相关性：不同阶数序列间的互相关。

　下面是6阶0x32和12阶0x555的互相关：

　

　它的频谱长这个模样：

　

 　看到互相关的频谱比较平坦。