初等数论结论

说明：本文只有定理、结论的记录。如果想看证明的话可以看我的初等数论笔记
由于本人（饱受学校压榨）时间精力有限，更新可能比较慢且不定期（尤其是证明）

整除

带余除法

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 1}}}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},m\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},\mathrm{\exists }$唯一$q,r\in \mathbb{Z},0\le r<m,\text{s.t.}n=qm+r.$

裴蜀定理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 2}}}a,b\in \mathbb{Z},$且$gcd(a,b)=d,$那么$\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{Z},d\mid ax+by.$
特别地$,\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z},\text{s.t.}ax+by=d.$

算术基本定理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 3}}}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},n>1,\mathrm{\exists }$质数$p_1<p_2<\dots <p_s$和正整数${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s,\text{s.t.}n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{{\alpha }_i}.$且这种表示是唯一的$.$

两个数论函数

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}\tau (n)$定义为$n$的正因子个数$.\sigma (n)$定义为$n$的所有正因子之和$.$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 4}}}$容易得到$\tau (n)=\sum _{d\mid n}1=\prod _{i=1}^s(1+{\alpha }_i).$
$\sigma (n)=\sum _{d\mid n}d=\sum _{\begin{array}{c}({\beta }_1,\dots ,{\beta }_s)\\ 0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i\end{array}}{p}_1^{{\beta }_1}\dots p_s^{{\beta }_s}=\prod _{i=1}^s\sum _{j=0}^{{\alpha }_i}{p}_i^j=\prod _{i=1}^s\frac{p_i^{{\alpha }_i+1}-1}{p_i-1}.$
且$\tau (n),\sigma (n)$均为积性函数$.$

$\underset{―}{\mathbf{\text{Remark}}}$算术函数与积性函数
定义在${\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}$上的函数称为算术函数$.$
设$f(n)$为算术函数$.$若$f(n)$不恒为$0,$且$\mathrm{\forall }m,n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}$满足$gcd(m,n)=1,$均有$f(mn)=f(m)f(n),$则称$f(n)$为积性函数$.$特别地$,$若$\mathrm{\forall }m,n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},f(mn)=f(m)f(n),$则称其为完全积性函数$.$

完全数

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}$若$n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},\sigma (n)=2n,$则称$n$为完全数$.$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 5}}}$
$(1)n$为偶完全数$⟺n=2^{p-1}(2^p-1).$其中$p,2^p-1$均为素数$.$
$(2)$若$n$为奇完全数$,$则$n=p^s{m}^2.$其中$p$为奇质数满足$p\equiv s\equiv 1(\mathrm{mod}4),$且$p\nmid m.$

$\underset{―}{\mathbf{\text{Remark}}}$
(1)有如下猜想:
$$①奇完全数不存在$.$
$$②偶完全数有无穷多个$.$
$$③$\mathrm{\exists }$无穷多质数$p,\text{s.t.}{2}^p-1$为质数$.$
$$其中由上面的结论知②与③等价$.$
(2)$p$为任一质数$,$称$M_p=2^p-1$为梅森$(Mersenne)$数$.$则③即为梅森素数猜想$.$

同余

欧拉$(Euler)$定理

欧拉函数

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}\phi (n)$定义为$1,2,\dots ,n$中与$n$互质的数的个数$.$
设$n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{{\alpha }_i},$其中$p_1<p_2<\dots <p_s$为质数$,{\alpha }_i\in {\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}},i=1,2,...,s.$
则$\phi (n)=n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}).$特别地$,\phi (1)=1,\phi (p)=p-1,$其中$p$为质数$.$

欧拉定理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 6}}}$若$a,m\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},gcd(a,m)=1,$则有$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m).$

费马$(Fermat)$小定理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Corollary 7}}}$若$a\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},p$为质数$,gcd(a,p)=1,$则有$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p),$即$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

威尔逊$(Wilson)$定理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 8}}}p$为质数$⟺(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

推广

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 9}}}(n-1)!\equiv \{\begin{array}{ll}-1,& n\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}\\ 2,& n=4\\ 0,& n=1\mathrm{或}n\mathrm{为}\mathrm{大}\mathrm{于}4\mathrm{的}\mathrm{合}\mathrm{数}\end{array}(\mathrm{mod}n).$

中国剩余定理$(CRT)$

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 10}}}{m}_1,m_2,...,m_s\in \mathbb{Z}$满足$\mathrm{\forall }1\le i<j\le s,gcd(m_i,m_j)=1.\mathrm{\forall }{a}_1,a_2,...,a_s\in \mathbb{Z},$方程组
$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x& \equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ & \cdots \\ x& \equiv a_s(\mathrm{mod}{m}_s)\end{array}\end{array}$
有整数解$.$且若$x,x^{\prime }$均为$(\text{1})$的解$,$则有$x\equiv x^{\prime }(\mathrm{mod}M),$其中$M=\prod _{i=1}^s{m}_i.$
具体的$,x\equiv \sum _{i=1}^s{a}_i\times \frac{M}{m_i}\times \left[{\left(\frac{M}{m_i}\right)}^{-1}\right]m_i(\mathrm{mod}M).$
其中$\left[{\left(\frac{M}{m_i}\right)}^{-1}\right]m_i$为$\frac{M}{m_i}$在$mod{m}_i$意义下的逆元$,$即$\frac{M}{m_i}\times \left[{\left(\frac{M}{m_i}\right)}^{-1}\right]m_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i).$

维诺格拉多夫$(Vinogradov)$引理

$\underset{―}{\mathbf{\text{Lemma 11}}}a,b,n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},n>1,gcd(ab,n)=1,\alpha \in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}},$则$\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z},x,y$不全为$0,$且$|x|\le \alpha ,|y|\le \frac{n}{\alpha },$$\text{s.t.}ax\equiv by(\mathrm{mod}n).$

关于$v_p(n)$

定义

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}p$为任一质数$,n\in \mathbb{Z},$若$p^k\mid \mid n,$则$v_p(n)=k.$

勒让德$(Legendre)$公式

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 12}}}{v}_p(n!)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{n}{p^k}\right].$

$p\text{-}$进制形式

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 13}}}n$的$p\text{-}$进制表示为$\sum _{i=0}^t{a}_i{p}^i.$其中$a_i\in \mathbb{Z},0\le a_i\le p-1,a_t>0.$记$S(n)=\sum _{i=0}^t{a}_i.$则$v_p(n)=\frac{n-S(n)}{p-1}.$
上述公式可以导出如下结论:
$\underset{―}{\mathbf{\text{Corollary 14}}}p$为质数$,n,k\in \mathbb{N},0\le k\le n,n$的$p\text{-}$进制表示为$\sum _{i=0}^t{a}_i{p}^i,k$的$p\text{-}$进制表示为$\sum _{i=0}^t{b}_i{p}^i.$
其中$a_i,b_i\in \mathbb{Z},0\le a_i,b_i\le p-1,a_t>0.$
则$p\nmid {\mathrm{C}}_n^k⟺\mathrm{\forall }0\le i\le t,$均有$b_i\le a_i.$
此即卢卡斯定理的推论.

$\underset{―}{\mathbf{\text{Remark}}}$卢卡斯$(Lucas)$定理
$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 15}}}p$为质数$,n,k\in \mathbb{N},0\le k\le n,n$的$p\text{-}$进制表示为$\sum _{i=0}^t{a}_i{p}^i,k$的$p\text{-}$进制表示为$\sum _{i=0}^t{b}_i{p}^i.$
其中$a_i,b_i\in \mathbb{Z},0\le a_i,b_i\le p-1,a_t>0.$
则${\mathrm{C}}_n^k\equiv \prod _{i=0}^t{\mathrm{C}}_{a_i}^{b_i}(\mathrm{mod}p).$

升幂定理$(LTE)$

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 16}}}n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},x,y\in \mathbb{Z},$奇质数$p$满足$gcd(p,xy)=1,p\mid x-y,$
则有$v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n).$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Corollary 17}}}n$为奇数时$,v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)+v_p(n).$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 18}}}n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},x,y\in \mathbb{Z},$满足$gcd(2,xy)=1,$则$2\mid x-y,$
于是有$v_2(x^n-y^n)=\{\begin{array}{ll}{v}_2(x-y),& n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}\\ v_2(x-y)+v_2(x+y)+v_2(n)-1,& n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}\end{array}.$

二次剩余

以下$p$均表示任一奇素数.

定义

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}m,n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},$若$\mathrm{\exists }x\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},\text{s.t.}{x}^2\equiv n(\mathrm{mod}m),$则称$n$为模$m$的二次剩余$.$否则称为二次非剩余$.$

性质

$\underset{―}{\mathbf{\text{Property 19}}}$模$p$的二次剩余和二次非剩余各有$\frac{p-1}{2}$个$.$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Property 20}}}$任意一个模$p$的二次剩余恰与如下序列中的一个数模$p$同余:$1^2,2^2,\dots ,(\frac{p-1}{2}{)}^2.$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Property 21}}}$若$d$为模$p$的二次剩余$,$则$x^2\equiv d(\mathrm{mod}p)$的解的个数为$2.$
$\underset{―}{\mathbf{\text{Property 22}}}a$为模$p$的二次剩余,则$a\cdot 1^2,a\cdot 2^2,\dots ,a\cdot (\frac{p-1}{2}{)}^2$恰为模$p$的所有二次剩余$.$$b$为模$p$的二次非剩余,则$b\cdot 1^2,b\cdot 2^2,\dots ,b\cdot (\frac{p-1}{2}{)}^2$恰为模$p$的所有二次非剩余$.$

勒让德符号

$\underset{―}{\mathbf{\text{Definition}}}n\in \mathbb{Z},$则$Legendre$符号为$\left({\displaystyle \frac{n}{p}}\right)=\{\begin{array}{ll}1,& n\mathrm{为}\mathrm{模}p\mathrm{的}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{剩}\mathrm{余}\\ -1,& n\mathrm{为}\mathrm{模}p\mathrm{的}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{非}\mathrm{剩}\mathrm{余}\\ 0,& n\mathrm{为}p\mathrm{的}\mathrm{倍}\mathrm{数}\end{array}.$

欧拉判别法

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 23}}}a\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}},gcd(a,p)=1,$则
$(1)a$为模$p$的二次剩余$⟺a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$
$(2)a$为模$p$的二次非剩余$⟺a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$
用$Legendre$符号表示即为$\left({\displaystyle \frac{a}{p}}\right)=a^{\frac{p-1}{2}}.$

高斯二次互反律

$\underset{―}{\mathbf{\text{Theorem 24}}}$
$(1)\left({\displaystyle \frac{-1}{p}}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.$
$(2)\left({\displaystyle \frac{2}{p}}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}.$
$(3)p,q$为奇素数$,$则$\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)\cdot \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}.$