dp
通用技巧
1.见到求绝对值就可以拆，直接变成对整体答案的贡献。转移上可以考虑按顺序转移，设一维状态为前i个未匹配的个数，转移的时候枚举向大或小转移；或者用状压表示大于或小于的状态。
2.在子序列计数的问题中，某些情况下可以用前缀和或bitset优化。
3.如果要求不能重复转移的问题，不妨使用填表法，并设一个辅助数组，强制某个点只能转移一次。不要先去重再计算，十分麻烦！！
4.刷表法一般来说不容易写错，但在某些时候是不好转移的。在对于有特殊限制并加入辅助状态的时候，填表法更能表现出某个状态是否被更新到，然后去更新后面。
5.高精除低精类似于模拟竖式，而高精除高精就只能一点一点去减了。注意判断除0情况。
6.在需要分别枚举如左右贡献a,b这两个变量时，我们不妨枚举d=b-a，推出其组合贡献，可以使用（这东西好像叫范德蒙德卷积） $$ \sum_{b=0}^{min(m,a)} C_b^a * C_{m-b}^{n-a} = C_m^n $$
7.对于 \(N^2\) 转移的dp，可以考虑转化为网格，观察其图形转移性质，从而化为更低维dp。
8.对于某些dp的转移，可以形象化理解，比如考虑在一个空间平面上，如何给下一层转移。或者通过最短路转移等等。
9.对于计算本质不同的子序列，可以 \(O(n^2)\) \(dp\)，设 \(dp_i\) 表示以i结尾的本质不同的子序列个数。转移时钦定只对它靠一侧的匹配转移。
可以优化到 \(O(n)\) ，即设 \(dp_i\) 表示以 <=i结尾的本质不同的子序列个数。但是两种写法一定要分清楚不要混了。
10.对于只有两三种不同颜色去排列的方案，dp时一定要记得设上一次出现的位置为i,j,（k），再根据下一个放什么去转移！
11.dp时一定要看空间上界，有些维可能只有log级别！（笑死了dp写对了看不出来最多log次
12.开dp数组时不要信任评测机的空限，如果卡到顶了一定要滚动数组优化。
13.求lr区间覆盖的某些问题，考虑转化为二维平面，有时可以用二维差分/前缀和去做。
14.见到形如 \(\sum_{i=1}^{k} cnt_i^2\)，直接转化为组合意义：选出两条满足限制的同色链的方案数。类似的，很多题目让求一个神秘东西的和，都是直接用组合意义转换。
15.DAG计数的技巧，每次枚举独立集作为入度为0的点，然后用容斥原理。如 CF1466H Finding satisfactory solutions。
16.推组合数的常见东西，\(\sum_{i=0}^x \binom{p+i}{i}=\binom{p+x+1}{x}\) ，具体证明只需要考虑组合数的递推式，并从小到大逐步合并即可。
17.在某些计数问题中，前面的选择对后面有影响，那么不妨把前面的一些选择先空下，在转移时延后计算dp贡献，如 CF1608F MEX counting
18.经典组合恒等式，\(\sum_{i=0}^m i^2 \binom{m}{i}=m(m+1)2^{m-2}\) ，\(\sum_{i=0}^m i \binom{m}{i}=m2^{m-1}\) ，\(\sum_{i=0}^m \binom{m}{i}=2^m\) 可以搭配记忆。
19.对于一堆线段求覆盖问题的dp，经常有两种思路，要么线段只相交不包含，那么左右端点都单增，可以用单调性；要么线段只包含不相交，那么可以构成树形结构。
20.如果对于某种单增式的矩阵难以计数，一定要考虑转化彻底，比如转化成若干\(\leq i,>i\) 的分界线，然后给它们分别向右下挪 \(i\) 位，转化成有向图不相交路径计数问题。
21.对于连续性的dp，也就是可以在实数域上选点，我们无法设计dp状态，不妨考虑给它离散化了，只要离散地足够细，就能得到更精准的答案；或不妨只考虑元素间的相对位置。
22.有种求正整数互异拆分数的方法，首先发现最多选择 \(O(\sqrt n)\) 个元素，然后考虑将行列反过来看（或形式化的，\(dp_x\) 表示 \(\forall i\leq x\) 选择的 \(\geq i\) 的数的个数之和），也就是考虑加入的元素，长度最多为 \(\sqrt n\) ，且钦定下一个元素只能比它大0或1。
状压dp
直接根据数据范围观察，小技巧是枚举子集
for(int s=t;s;s=(s-1)&t)
枚举子集的子集的时间复杂度是 \(O(3^n)\) ，可以把式子展开使用二项式定理证明。推广：枚举k次子集的时间复杂度是 \(O((k+1)^n)\) .
还有一个技巧吧，用子集的容斥原理的时候，直接减是会重复的。钦定一个点（比如1），把子集划分成含1的连通块和其他部分，再去枚举就能保证不重不漏了。
for(int i=1;i<=tmp;i++){
f[i]=g[i];
for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i){
if(!(j&1)) continue;
f[i]=(f[i]-f[j]*g[i^j]%mod+mod)%mod;
}
}
计数dp
一般指求一个集合S的大小，并且常常范围非常大需要取模。
如果我们能将S分成若干无交的子集，那么S的元素个数就等于这些部分的元素个数和。
与最优化dp的异同：同，都是在一个范围内求一个大小值或最优值，这个值通过对范围内的所有元素做一次处理和整合得到；异，最优化dp我们只需要求满足这个范围的最值，即部分的并为范围，而计数dp我们则需要把范围分成若干个不交的部分。
计数dp的精髓就在于状态设计，而且多是多维dp，经常有很多想不到的神仙状态。
比如经常设计成0/1表示在左右或是否满足条件，包括设计成还需要多少才能满足条件这种（[PA2021] Od deski do deski）。
预设型dp
我的理解是把需要求的限制直接加到dp状态中转移。
一般来说先想到设f[i][j]（如，枚举到i位，放了j），但是发现有后效性、无法转移，而恰好题目又给了一个在每次转移都需要计算或满足的条件，那么不妨加入那一维条件。
比如求满足划分成若干段的方案，最后一维是段数；求达到奇怪度的方案数，最后一维是奇怪度（[ABC134F] Permutation Oddness）。一般是数据范围小的高维dp。
（这样的dp一般最终求的是满足某个限制的方案数）
区间dp
我到现在都觉得区间dp很难……形式过于多样就很难想到。只能积累一些方法。
断环为链。
除了dp[l][r]之外，可以加入比如每个的对l,r的值的限制。尤其是对于删除添加色块的题目。
关于如何注意到要使用区间dp：多推性质，正想反想，时间倒流，删改成加等等。
如果状态实际不多但正常转移会tle或mle，可以考虑记忆化搜索。
斜率优化dp
用线性规划的方式优化dp，一般用于优化1D/1D的dp，即状态和转移都是一维
这样的dp一般有两种形式：
形如 \(f_i=A+B\) 的，其中A是一个只关于i的式子，B是一个只关于j的式子，一般可以使用单调栈/单调队列/数据结构维护。
形如 \(f_i=A+B+C\) 的，其中C是一个同时关于i,j的式子，比如 \(a_i*b_j\) 此时就要用斜率优化。
操作上，把转移方程写出来，对于当前i，假设从j转移比k更优，列出不等关系。然后开始化简，移项，把右边化成一个只关于i的式子。
具体维护时，用单调队列维护凸包，每次选择“相切”的点转移。
概率与期望（坑）
常用结论：
1.期望操作次数=1/得到目标的概率
2.(期望)e=(概率)P*(每次贡献)w
3.期望的线性性：E(x+y)=E(x)+E(y) 即和的期望等于期望的和
4.\(E(x)=\sum_i P(j=i)\times i\) 即 \(E(i)=\sum_i P(j\geq i)\)
5.选到某个东西的期望等于从未选择它的概率之和（注意到这里要包含第0轮，或需要+1
第二个结论常常不仅用于求期望，有时还用于在抽象计数问题中每种情况的概率和期望比较好求时，求对于所有方案的某种操作次数总和（ \(\sum w\) ）
一种特殊情况是在游走的时候还可能停在当前点，那么如何计算到达当前点的概率？先找定值，即从每个点转移（到别的点或者停留在本点）的概率一定是1，而最终在某个城市爆炸的概率是我们所要求的。其实就很像方程了，把在某个城市爆炸的概率设为x，转移到该城市的概率是好表示的，我们可以结合高斯消元去做。
例 [USACO Hol10] 臭气弹
//这个题最离谱的就是如何求无限循环的概率？？ （还都是双向边
//或者说根据题中给出的在某个城市结束的概率之和就是需求的概率，这样考虑列方程？
//这种概率的问题是真的不好想！有点抽象，只知道每个xi，如何构造方程？
//似乎先找单位1比较好，列出的方程为单位x的概率减掉每个能到达该边的点的转移概率等于零！！
//还有是从1开始，故1特殊为p/q，本来初始在这里就有值！！
//注意每个可转移的点还要除以它的入度！！！这样才是最终的概率
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
int n,m,p,q,c[305][305],d[305];
double a[305][305];
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
double x=1.0*p/q;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
c[u][v]=c[v][u]=1;
d[u]++,d[v]++;
}
a[1][n+1]=x;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i][i]=1.0;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(c[i][j]) a[i][j]=-(1.0-x)/d[j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
if(fabs(a[j][i])>eps){
swap(a[j],a[i]);
break;
}
}
for(int j=n+1;j>=i;j--) a[i][j]/=a[i][i];
for(int j=i+1;j<=n;j++){
for(int k=n+1;k>=i;k--){
a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];
}
}
}
for(int i=n-1;i>0;i--){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%.9lf\n",a[i][n+1]);
}
return 0;
}
dp套dp
[TJOI2018] 游园会 是模版。
大概就是发现这个题需要维护一个lcs=i的限制，然而我们并不能直接得到lcs，lcs也是一种对整体状态dp出来的结果。而我们又发现求出来lcs的数组实际上只会两两相差1，也就是可以使用状压去维护。考虑状压维护的正确性，每次更新都是在之前更新过的dp数组的基础上新加入一个字符，相当于我们普通二维dp拆解开，一点一点更新。
然后lcs的dp可以预处理出来，再状压dp转移方案。如果理解清楚好像也还好。
还有一道例题[ZJOI2019] 麻将。还没有写……
树形dp
一般来说就是一维表示当前节点的状态，如果有需要，再加几维表示题目限制。
树上背包，在每个节点初始化状态时一定是只包含当前节点，然后去枚举子树和容量、分配，每次一般是方案相乘或取max，一定是对于当前x及其已经合并的子树和当前要合并的y子树操作。写状态转移的时候要想清楚。
关于树形背包的复杂度，看着是四个for实际上可以证明是O(n^3)，看着是三个for（如一个for y，两个枚举siz）实际可以证明是O(n^2).因为有一个枚举子树的操作，那么我们只看枚举的x已有子树和y子树中的每对点，发现实际上每对点只在lca处被计算。（[HNOI2015] 实验比较）
up and down，同样是经典套路。实际上是换根dp，一般来说up时从下向上遍历f[x]表示x子树内的贡献，down时从上向下遍历g[x]表示以x为根的全树贡献，g[1]=f[1].
矩阵快速幂加速dp
同样的，看数据范围。
一般来说，只要转移的条件不变，且数据范围比如n很大，并且转移状态又很小并且可以被矩阵所表示，那大概率是矩阵快速幂加速dp。（还有一种情况是转移状态并不需要依赖大范围的n，而是通过较小范围的比如m去设计dp，把n作为转移的参数。）
我觉得这个最难的就是矩阵的初始化和答案的输出，一定要把状态想清楚了，到底初始化后是不是需要转移n次，还是n-1次；输出的的答案是求和还是其中的某个值。
ps.如果要求前缀和，就给dp状态矩阵后面加一位sum，然后每次正常转移后再乘一个求前缀和的矩阵。转移时可以直接用转移矩阵乘上求前缀和的矩阵，得到新的转移矩阵。
填矩阵的方法：如果是从左到右进行快速幂，则转移矩阵(x,y)位置上的数代表从dp[x]转移到dp[y]的系数。
需要注意的点：first.矩阵乘的单位1是除主对角线为1外全0的矩阵
second.封装的时候一定记得清空，否则那个矩阵设出来实际上是有值的，影响计算
struct node{
int a[30][30];
void clear(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
node operator *(const node b){
node res;
res.clear();
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
for(int k=1;k<=m;k++){
res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
}
}
}
return res;
}
}x,ans;
注：矩阵乘法有一个优化，可以把时间复杂度从 \(O(m^3logn)\) 变到 \(O(m^2logn)\)，是对于 关于两条对角线都对称的矩阵 成立的。
我们会发现 \(A_{i,j}=A_{i-1,j-1}+A_{1,i+j-1}\) ，也就是我们只需要维护每个矩阵的第一行和第一列，就可以递推出来矩阵的所有信息。因为我们每次需要维护的信息是 \(O(m)\) 的，而进行一项的乘法操作是 \(O(m)\) 的，所以总体复杂度就是 \(O(m^2logn)\)。
又，dp经常可以写成矩阵乘法的形式，如果想要得到l-r的转移，不妨直接用前缀和优化。需要求前缀逆的积。
基环树（树形dp
最常见条件：n个点，n条边（注意题目给的条件是否联通，可能是森林
基环内向树：每个点只有一条出边
基环外向树：每个点只有一条入边
处理手法：找环，断边，跑树形dp
void circle(int x,int p){
vis[x]=1;
for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if((i^1)==p) continue;
if(vis[y]){
xx=x,yy=y,k=i;
continue;//不能return，要把联通块找完
}
circle(y,i);
}
}
轮廓线dp
就是状压的一种思路，把两行状态的枚举转化为逐格dp，感觉转移好像有一条轮廓线一样，把转移变为O(1)
一般来说是一种用于维护连通性的dp
注意到，虽然我们是逐格dp，但我们需要记录从当前格向前n格的状态。这里的状态指是否被覆盖。这也就是轮廓线：已决策状态和未决策状态的分界线。
总体上是分类讨论就行
插头dp
真的太佩服了……陈丹琦在高中期间不仅发明了cdq分治，还发明了插头dp。
插头：一个格子某个方向的插头存在，表示这个格子在这个方向与相邻格子相连。
高维前缀和/sosdp(子集dp)
用于对于集合的每个子集求解一些问题，枚举子集的复杂度就到了\(O(2^n)\)，没法逐个计算，而高维前缀和可以做到 \(O(n*2^n)\)
关于理解这个式子为什么是这样的：实际上多维前缀和可以一维一维地算（比如二维三维前缀和，先算一横行，再把横行前缀和相加……），此处我们模拟的就是这个过程。
这个东西和 FMT/FWT 处理或卷积的第一步（typ=1）是一样的效果。（当typ=-1时，就是逆运算了）实际上FMT就是考虑构造了一个函数，使得用点值表示法可以直接计算出这个新函数，然后再通过逆运算变成系数表示。
FMT 处理或卷积
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<(1<<n);j++)
if(j&(1<<i)) a[j]+=typ*a[j^(1<<i)];
另外，与之对应的还有高维后缀和（FMT 处理与卷积），但通过将所有东西取补集，就变成了高维前缀和，可以类似处理。以及还有高维差分，循环反向，加号变减号即可
其实我也还是不是很理解高维后缀和等一系列，看 奆佬blog
//要求最多O(log)求出对于每个子集中满足条件的个数
//如果不要求时间复杂度，转化成求一段区间内lst在l之前的，莫队差不多可以写
//对于这一类求集合中子集的问题，理解方面，和容斥原理有关，考虑我们按照一定顺序枚举，并计算补集每次删掉的元素，从而保证转移是不重复的
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=24,m,dp[1<<24],ans;
int main(){
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int s=0;
for(int j=1;j<=3;j++){
char c;
scanf(" %c",&c);
if(c>='y') continue;
s|=(1<<(c-'a'));
}
dp[s]++;
}
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<(1<<n);j++){
if(j&(1<<i)) dp[j]+=dp[j^(1<<i)];
}
}
for(int i=0;i<(1<<n);i++) ans^=(m-dp[i])*(m-dp[i]);
printf("%d",ans);
return 0;
}
决策单调性优化dp
决策单调性最常见的条件是满足四边形不等式。设 \(w(i,j)\) 为成本函数，即我们的转移式子形如 \(f_i=\min f_j+w(i,j)\) ，其中 \(\max\) \(\min\) 均可。我们实际上只需要证明成本函数满足四边形不等式，就可以得到决策单调的结论！（因为就算把那个 \(f_j\) 也带到四边形不等式的式子里，它也会被消掉！！
四边形不等式：对于 \(a\leq b\leq c\leq d\) ，有 \(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\) ，即“交叉小于相等”。（也有说大于的，但其实是一样的，就是满足某种单调性
推论，对于 \(i<j\) ，有 \(w(i,j)+w(i+1,j+1)\leq w(i,j+1)+w(i+1,j)\)
这样的形式我们很难理解，实际上移个项就好了， $ w(i+1,j+1)-w(i+1,j)\leq w(i,j+1)-w(i,j)$
即，随着i的增大，w的增量变小。那么这就相当于，我们对一个转移式子找到了决策单调性。
再说点人话，就是，如果在当前，i+1是更优的，则从今往后的所有转移，i+1相对i一定是更优的。
对于决策单调性dp的处理方式，一般就可以直接考虑单调队列/分治（整体二分）了。
例题： LOJ6039「雅礼集训 2017 Day5」珠宝
数位dp
（不知道是哪个古早时期讲了但根本听不懂的东西，这东西没别的，就是代码极其繁琐
oi-wiki上有数位dp的特征：题目条件转化为“数位”相关东西，最终目的为计数，上界很大（如 \(10^8\)
我们发现在计数的过程中，每一位的变化都可以独立进行，且会有一些数拥有很多相同的位，那我们不妨把这些过程归并起来，用递推或记忆化的方式转移
以 CF582D Number of Binominal Coefficients 为例。
有一个我根本不知道（但其实很显然）的结论： \(n!\) 中质因数 \(p\) 的个数为 \(\sum_{i=1} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor\)
然后有根据这个结论的定理——库默尔定理：对于一个组合数 \(\binom{n}{m}\) ，它含有质因子 \(p\) 的个数为 \(n+m\) 在 \(p\) 进制下计算时的进位次数。
然后我们将 \(A\) 转为 \(p\) 进制数后进行数位dp。令 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示当数位从高到低考虑到 \(A\) 的第 \(i\) 位，总共进位了 \(j\) 次，\(a+b\) 小于/等于 \(A\) 且 不接受/接受 低一位进位时 \(a,b\) 的取值方案数。以 \(i\) 为阶段，从大到小进行转移。
矩阵树定理
用于生成树计数，证明非常之复杂，因此我们会用就行。（依然是图论上的数数题
对于无向图，我们构造 Laplace 矩阵为度数矩阵-邻接矩阵，则该矩阵的所有 \(n-1\) 阶主子式都相等，且等于图的生成树个数；对于有向图，我们构造 Laplace 矩阵为出度/入度矩阵-邻接矩阵，则有向图的出度 Laplace 矩阵删去第 \(k\) 行第 \(k\) 列得到的主子式等于以 \(k\) 为根的根向树的个数，入度 Laplace 矩阵删去第 \(k\) 行第 \(k\) 列得到的主子式等于以 \(k\) 为根的叶向树的个数。
如果是带权的形式，那么它计算行列式统计的就是每种树边权乘积的和。如果要求边权和，可以给每个点赋值为 \(w_ix+1\) ，然后对 \(x^2\) 取模，最后统计一次项系数。（注：行列式用高消搞成上三角矩阵，\(ans=\prod a_{i,i}\)
LGV 引理
用于处理 DAG 上不相交路径计数等问题。
对于一个 DAG ，我们构造一个矩阵，其中 \(a_{i,j}\) 表示所有 \(A_i \to B_j\) 的路径条数，那么该矩阵的行列式就是所有 A 到 B 不相交路径的带符号和。
对于一些特殊的图，比如网格图，我们发现，只要存在逆序对，就必然会出现两个路径相交，那么此时的行列式就是不相交路径个数了。
拉格朗日插值
准确来说这是多项式算法，但是很多都是dp式子推出来，发现它是多项式，然后使用拉插
要求构造一个函数 \(f(x)\) 过点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),...,P_n(x_n,y_n)\)
那么我们只需要构造n个函数，使得 \(f_i(t)\) 在 \(t\neq x_i\) 时取值为0；在 \(t = x_i\) 时取值为 \(y_i\).
则题目所求为 \(f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)\) .
此时显然函数是过 $ P_{1,2,...,n}$ 的.
那么可以设 \(f_i(x)=a\cdot\prod_{j\neq i}(x-x_j)\)，将点 \(P_i(x_i,y_i)\) 代入得 \(a=\dfrac{y_i}{\prod_{j\neq i} (x_i-x_j)}\)
则 Lagrange 插值的形式为：
朴素实现的时间复杂度为 \(O(n^2)\)，可以优化到 \(O(n\log^2 n)\)
对于横坐标连续的插值，可以做到O(n)，可用阶乘推导。
注：一个n次多项式可以用n+1个不同点值用拉格朗日插值插出来（注意是n+1个点哦！！
另外，拉插还能搞生成函数，直接带点进来反推系数！
坑：自然数的k次方和是k+1次多项式，可以带k+2个点通过插值求得
另外，判断多项式次数的好方法是差分，原多项式次数就是差分后结果的次数+1（根据多项式的定义）
贪心 （乱入
Q:为什么把贪心和dp放一起呢？
A:贪心题中有时会借用dp排除一些情况([JOI 2022 Final]让我们赢得选举)，而dp的最优策略选则有时需要使用贪心思想。
贪心，指在问题求解中总是做出在当前看来最好的选择，从局部最优解出发，得到整体最优解
重点在于贪心策略的选择
一般来说，先对问题建立数学模型，然后拆分问题为若干个子问题，从子问题最优解得到整体最优解
其实在很多时候，贪心策略的证明是很难的，但要发散想象力，敢想敢写
比如：
贪心常见设问是最大值最小和最小值最大（怎么和二分一样，当然二分中的check很多都是用了贪心的思想
考虑交换顺序的问题时，用相邻交换法，只想两个的情况，通过题目给的条件列式子分析，推出排序策略，很多都是按照max/min、和、差排序；注意一定先只想两个，但后面也一定要扩展到整体情况的（有时候贪心策略不具有传递性
johnson算法：对于推出来是min(ai,bj)<min(aj,bi)则i比j优的情况，直接这么排不具有传递性，但是我们可以知道a小的尽可能放前面，b小的尽可能放后面。这个式子可以直接拆开分五种情况讨论（含等于，但等于时可以随便排），于是我们得到了一个正确的排序方式。令d=(ai<=bi)?-1:1，先按照d排序，d同为-1时按照a升序排列，同为1时按b降序排列。
反悔贪心
挖坑待填
博弈论（乱入*2
（先手）必胜态和（先手）必败态
三条显然定理： 1.没有后继状态的状态是必败态 2.一个状态是必胜态当且仅当存在至少一个必败态为它的后继状态 3.一个状态是必败态当且仅当它的所有后继状态都为必胜态
典例：\(Nim\) 游戏
\(n\) 堆物品，每堆有 \(a_i\) 个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取。
定义 \(Nim\) 和= \(a_1\) ^ \(a_2\) ... \(a_n\)。当且仅当 \(Nim\) 和为0时，该状态为必败状态；否则必胜。
只需证：
1.没有后继状态的是必败状态
2.对于异或和不为 0 的局面，一定存在某种移动使得异或和为 0
3.对于异或和为 0 的局面，一定不存在某种移动使得异或和为 0
简单证明：
（1.全0局面，异或和为0
（2.设二进制最高位1的位置为d，易得一定有奇数个 \(a_i\) 使得d位为1，那么改 \(a_i\) 为 \(a_i'=a_i\) ^ \(k\)，则 \(a_i > a_i\) ^ \(k\).移动合法
（3.如果将 \(a_i\) 改为 \(a_i'\) ，根据异或运算，\(a_i=a_i'\)不合法
扩展到一般情况：SG函数
定义mex函数为不属于集合s中的最小非负整数。SG函数为 SG(x)=mex{ SG(y) | x to y}，即x后继状态SG函数的mex值。
当且仅当对于组合游戏的所有起点 \(s_1,s_2,...,s_n\) ，\(SG(s_1)\) ^ \(SG(s_2)\)...^ \(SG(s_n)\neq 0\) 时，这个游戏先手必胜。同时这是一个组合游戏的游戏状态x的SG值。
适用于任何公平的两人游戏，可以决定游戏的输赢。一般需要把游戏抽象成有向图。
浙公网安备 33010602011771号