特征根方法证明

特征根方法证明：

求满足 \(a_{i+2}=pa_{i+1}+qa_{i}\) 的 \(a_i\) 的通项：

\[\begin{equation} \begin{aligned} &不妨设&\ a_{i+2}-\lambda a_{i+1}&=(p-\lambda)(a_{i+1}-\lambda a_{i})\\ &则& a_{i+2}&=pa_{i+1}-(p-\lambda)\lambda a_{i}\\ &则& -(p-\lambda)\lambda&=q\\ &则& \lambda^2-p\lambda-q&=0\\ &不妨设两根\ x_1,x_2\\ &带入\ x_1\ 得到& a_{i+2}-x_1a_{i+1}&=(p-x_1)(a_{i+1}-x_1a_{i})\\ &注意到\ p-x_1=x_2&\\ &那么 数列\{a_{i+2}-x_1a_{i+1}\}\ 公比是\ p-x_i&\\ &&a_{n}-x_1a_{n-1}&=x_2^{n-2}\times (a_2-x_1a_1)\\ &转化成了 a_{n}=pa_{n-1}+k\times c^n\ 的样子& \\ &回到原式&\frac{a_{n}}{x_1^{n}}-\frac{a_{n-1}}{x_1^{n-1}}&=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^n\times \left(\frac{a_2-x_1a_1}{x_1^2}\right)\\ &当\ x_1!=x_2\ ,求和& \frac{a_{n}}{x_1^{n}}-\frac{a_{1}}{x_1^{1}}&=\left(\frac{a_2-x_1a_1}{x_1^2}\right)\times \frac{\left(\frac{x_2}{x_1}\right)\left(1-\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{n-1}\right)}{1-\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}\\ &观察发现 ,存在 A,B\ 使得& a_{n}&=Ax_1^{n}+Bx_2^{n}\\ &当x_1=x_2 & \frac{a_{n}}{x_1^{n}}-\frac{a_{n-1}}{x_1^{n-1}}&=\frac{a_2-x_1a_1}{x_1^2}\\ &\sum：& \frac{a_n}{x_1^n}-\frac{a_1}{x_1^1}&=\frac{a_2-x_1a_1}{x_1^2}\times (n-1)\\ &观察发现 ,存在 A,B\ 使得& a_{n}&=(A+Bn)x_1^{n}\\ \end{aligned} \end{equation} \]