荒岛野人[exgcd]
Description
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人,一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中,以后每年,第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li,即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞,住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1,2,3;
每年要走过的洞穴数依次为3,7,2;寿命值依次为4,3,1。
奇怪的是,虽然野人有很多,但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中,使得小岛一直保持和平与宁静,这让科学家们很是惊奇。他们想知道,至少有多少个山洞,才能维持岛上的和平呢?
Input
输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15),即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=10^6 ),表示每个野人所住的初始洞穴编号,每年走过的洞穴数及寿命值。
Output
输出文件仅包含一个数M,即最少可能的山洞数。输入数据保证有解,且M不大于10^6。
Sample Input
3
1 3 4
2 7 3
3 2 1
Sample Output
6
Data Constraint
Hint
该样例对应于题目描述中的例子。
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分析
我们并不知道ans是多少,也就是说我们不知道同余方程后边的mod是多少
所以我们要枚举一个mod数,这个mod数就是ans
一共有n个野人,所以一共有 n*(n-1)/2 个 同余方程
同余方程:c_i + a * p_i = c_j + a * p_j (mod ans)
x * (p_i - p_j) + y * ans = c_j - c_i
不满足条件就是 (c_j - c_i) % gcd(p_i-p_j,ans) ==0 且最小的非负整数解x<=min(l_i,L_j)
同余方程有解,两人会在有生之年遇到
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程序:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int g,n,c[20],p[20],l[20],ans;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if (!b)
{
x=1;
y=0;
g=a;
return;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y=y-a/b*x;
}
int main()
{
bool flag;
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>c[i]>>p[i]>>l[i];
ans=max(ans,c[i]);
}
for (int p1,c1,x,y,mod;;ans++)
{
flag=0;
for (int i=1;i<n;i++)
{
for (int j=i+1;j<=n;j++)
{
p1=p[i]-p[j];
c1=c[j]-c[i];
if (p1<0)
{
p1=-p1;
c1=-c1;
}
exgcd(p1,ans,x,y);
if (c1%g==0)
{
mod=ans/g;
if ((x*(c1/g)%mod+mod)%mod<=min(l[i],l[j]))
{
flag=1;
break;
}
}
}
if (flag==true) break;
}
if (!flag)
{
cout<<ans;
return 0;
}
}
}