【知识点】拉格朗日乘数法
简介:
在满足约束条件φ(x1,x2,⋯,xn)=0时求f(x1,x2,⋯,xn)的极值。
结论:
令L(x1,x2,⋯,xn)=f(x1,x2,⋯,xn)+λφ(x1,x2,⋯,xn)。
再令∂L∂xi为L关于xi的偏导数。(即视其他xj为常量,仅对xi求导)
则方程组
{∂L∂x1=0∂L∂x2=0⋯∂L∂xn=0φ(x1,x2,⋯,xn)=0
的某个解(λk,xk,1,xk,2,⋯,xk,n)一定对应着f的极值点。
实现:
先通过枚举/二分/三分确定λ,然后根据题意算出一组合法解更新答案即可。
代码(NOI2012骑行川藏):

#include<bits/stdc++.h> #define maxn 200005 #define maxm 500005 #define inf 0x7fffffff #define eps 1e-14 #define ll long long #define rint register int #define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl #define fgx cerr<<"--------------"<<endl #define dgx cerr<<"=============="<<endl using namespace std; struct road{double s,k,v;}A[maxn]; int n; double E; inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } inline int dcmp(double x){return (abs(x)<=eps)?0:(x<0?-1:1);} inline double phi(double lam){ double res=0; for(int i=1;i<=n;i++){ double l=max(A[i].v,0.0),r=1e5; while(dcmp(r-l)>0){ double mid=(l+r)/2.0; if(dcmp(2.0*lam*A[i].k*(mid-A[i].v)*mid*mid-1.0)<=0) l=mid; else r=mid; //printf("%.8lf %.8lf %.8lf\n",2.0*lam*A[i].k*(mid-A[i].v)*mid*mid-1.0,l,r); } res+=A[i].k*(l-A[i].v)*(l-A[i].v)*A[i].s; } //printf("%lf\n",res-E); return res-E; } inline double calc(double lam){ double res=0; for(int i=1;i<=n;i++){ double l=max(A[i].v,0.0),r=1e5; while(dcmp(r-l)>0){ double mid=(l+r)/2.0; if(dcmp(2*lam*A[i].k*(mid-A[i].v)*mid*mid-1)<=0) l=mid; else r=mid; } res+=A[i].s/l; } return res; } int main(){ //freopen("bicycling17.in","r",stdin); n=read(),scanf("%lf",&E); //cout<<n<<":"<<E<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&A[i].s,&A[i].k,&A[i].v); double l=0,r=1e5; while(dcmp(r-l)>0){ double mid=(l+r)/2.0; if(dcmp(phi(mid))>=0) l=mid; else r=mid; } //printf("%lf %lf\n",l,r); printf("%.6lf\n",calc(l)); return 0; }
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