【知识点】BSGS

Big-Step-Giant-Step：

用于解形如$a^{x}\equiv b(mod\ p)$式的方程。

考虑分块，令$n=\lceil \sqrt{p} \rceil,x=rn-s$，则有

$a^{rn-s}\equiv b(mod\ p)$

$a^{rn}\equiv ba^{s}(mod\ p)$

分别在$[1,n]$的范围内枚举$r,s$并用$map$记录模数即可。

复杂度$O(\sqrt{p})$。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define rint register ll
#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl
#define fgx cerr<<"--------------"<<endl
#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;
ll p,y,z,m; map<ll,ll> M;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline ll power(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p,b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    p=read(),y=read(),z=read(),m=ceil(sqrt(p));
    for(ll i=0,now=1;i<=m;i++,now=now*y%p) M[z*now%p]=i;
    ll ans=1ll<<62,pw=power(y,m);
    for(ll i=0,now=1;i<=m;i++,now=now*pw%p){
        if(M[now] && i*m-M[now]>=0) ans=min(ans,i*m-M[now]);
    }
    if(ans==(1ll<<62)) printf("no solution\n");
    else printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

扩展BSGS：

容易发现上面的移项需要满足$gcd(a,p)=1$，若不满足该条件则需要转化。

我们令$gcd(a,p)=g$，将整个式子除$g$，得到$\frac{a}{g}a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}(mod\ \frac{p}{g})$。

若$g\nmid b$则无解，否则检查此时$a,\frac{p}{g}$是否互质，若不互质则继续除。

最终计算互质时的答案，再加上除的次数$k$即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define rint register ll
#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl
#define fgx cerr<<"--------------"<<endl
#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;
unordered_map<ll,ll> M;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline ll gcd(ll a,ll b){return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
inline ll power(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p,b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    while(1){
        ll a=read(),p=read(),b=read(),k=0,x=1;
        if(a==0 && b==0 && p==0) break;
        bool flag=1;
        while(1){
            ll g=gcd(a,p); if(g==1) break;
            if(b%g!=0){printf("No Solution\n");flag=0;break;}
            k++,p/=g,b/=g,x=x*(a/g)%p;
            if(x==b){printf("%lld\n",k);flag=0;break;}
        }
        if(!flag) continue;
        M.clear(),a%=p,b%=p;
        ll n=ceil(sqrt(p)),ans=1ll<<62,now=1;
        for(rint i=0;i<=n;i++,now=now*a%p) M[b*now%p]=i;
        now=1; ll pw=power(a,n,p);
        for(rint i=0;i<=n;i++,now=now*pw%p){
            ll t=x*now%p;
            if(M[t] && i*n-M[t]+k>=0) ans=min(ans,i*n-M[t]+k);
        }
        if(ans==1ll<<62) printf("No Solution\n");
        else printf("%lld\n",ans);

    }
    return 0;
}