【知识点】斯坦纳树

简介：

就是个状压dp起了个高端的名字。

 

例题：

给定一张图，其中有p个关键点，连接每个点有一个代价，要求用最少的代价连通所有关键点。

$n\leq 100,p\leq 10$。

 

做法：

发现最小生成树并不能做，虚树也不能做，实际上这个问题就没有多项式复杂度的做法。

于是考虑状压dp。设$dp(i,j)$表示当前位于点i（不一定是关键点），与关键点的连通状态为j的最小代价。

转移有两种，一种是合并当前点的两个状态，一种是同样的连通状态从一个点转移到另一个点。

具体地：

• $dp(i,j)=min \{ dp(i,j),dp(i,k)+dp(i,j-k)-val_i \}$，表示合并点i的两个状态。
• $dp(i,j)=min \{ dp(i,j),dp(k,j)+val_i \}$，表示点k的状态转移到点i。

由于每个状态对应的连通块肯定是一棵树，所以位于点i就相当于以i为根，两种转移也相当于合并子树和添加新根的操作。

第二种转移可以用spfa优化，总复杂度$O(n\times 3^{p})$。

 

代码（[WC2008]游览计划）：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10
#define maxm 505
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define rint register int
#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl
#define fgx cerr<<"--------------"<<endl
#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;
int n,m,A[maxm],dp[maxm][1<<maxn],vis[maxm];
int hd[maxm],nxt[maxm],cst[maxm],cnt;
int inq[maxm],to[maxm],rk[maxm];
pii fr[maxm][1<<maxn];

inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline int id(int x,int y){return (x-1)*m+y;}
inline void addedge(int u,int v,int w){to[++cnt]=v,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;}

inline void spfa(int s){
    memset(inq,0,sizeof(inq));
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
        if(dp[i][s]<=1e9)
            q.push(i),inq[i]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop(),inq[u]=0;
        for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i],w=cst[i];
            if(dp[v][s]>dp[u][s]+w){
                dp[v][s]=dp[u][s]+w,fr[v][s]=mp(u,s);
                if(!inq[v]) q.push(v),inq[v]=1;
            }
        }
    }
}

inline void dfs(int i,int j){
    vis[i]=1; if(!fr[i][j].fi) return; 
    dfs(fr[i][j].fi,fr[i][j].se);
    if(fr[i][j].fi==i) dfs(fr[i][j].fi,j^fr[i][j].se);
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    memset(dp,63,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int w=read(); A[id(i,j)]=w;
            if(j>1) addedge(id(i,j-1),id(i,j),w);
            if(i>1) addedge(id(i-1,j),id(i,j),w);
            if(j<m) addedge(id(i,j+1),id(i,j),w);
            if(i<n) addedge(id(i+1,j),id(i,j),w);
            if(w==0) rk[++rk[0]]=id(i,j),dp[id(i,j)][1<<(rk[0]-1)]=0;
        }
    for(int j=0;j<(1<<rk[0]);j++){
        for(int i=1;i<=n*m;i++)
            for(int k=j;k;k=(k-1)&j)
                if(dp[i][j]>dp[i][j^k]+dp[i][k]-A[i])
                    dp[i][j]=dp[i][j^k]+dp[i][k]-A[i],fr[i][j]=mp(i,k);
        spfa(j);
    }
    int ans=inf,res=0;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
        if(dp[i][(1<<rk[0])-1]<ans)
            ans=dp[i][(1<<rk[0])-1],res=i;
    printf("%d\n",ans);
    dfs(res,(1<<rk[0])-1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(A[id(i,j)]==0) printf("x");
            else if(vis[id(i,j)]) printf("o");
            else printf("_");
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}