【知识点】斯特林数

第一类斯特林数：

定义：$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$表示将n个元素分成k个圆排列的方案数。

递推式：根据定义，有$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix} n-1 \\ k \end{bmatrix}$，即每个元素可以放在任意元素的前面。

性质：根据定义，有$\sum \limits_{k=0}^{n}{\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}}=n!$。

用途：上升/下降幂转正常幂。

具体地，我们定义下降幂$x^{\underline{n}} = x(x-1)\cdots (x-n+1)$，上升幂$x^{\overline{n}} = x(x+1)\cdots (x+n-1)$。

则有$x^{\underline{n}} = \sum \limits_{k=0}^n {(-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k}$

和$x^{\overline{n}} = \sum \limits_{k=0}^n {\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k}$。

使用数学归纳法即可证明，这里不再赘述。

 

第二类斯特林数：

定义：$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}$表示将n个元素分成k个非空集合的方案数。

递推式：根据定义，有$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}$，即每个元素可以放到任意集合中。

性质：$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = \frac 1 {k!} \sum \limits_{i=0}^k {(-1)^{k-i} \binom{k}{i} i^n}$，相当于枚举空集并容斥。

用途：正常幂转上升/下降幂。

类似于第一类斯特林数，有$x^n = \sum \limits_{k=0}^n {\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline{k}}}$

和$x^n = \sum \limits_{k=0}^n {(-1)^{n-k} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\overline{k}}}$。