【知识点】可持久化线段树

可持久化线段树/主席树：

顾名思义，该数据结构是可以访问历史版本的线段树。用于解决需要查询历史信息的区间问题。

在功能与时间复杂度上与开n棵线段树无异，然而空间复杂度从$O(n\times nlogn)$降到了$O(nlogn)$。

 

实现方法：

每次只更新有关的节点（每层一个，共$logn$个），其余节点不动。

用一个数组$rt[i]$记录第$i$个版本线段树的根节点（显然每次必更新根节点）。

查询时一路走下去，将两个需要查询的历史版本的节点信息差分。

没了。

 

模板题目：洛谷P3834

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;
#define MAXN 200005
#define MAXM 500005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

int N,M,Q,A[MAXN],B[MAXN],tot,rt[MAXN];
int ls[MAXN*20],rs[MAXN*20],sum[MAXN*20];

inline void build(int l,int r,int &k){
    k=++tot;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(l,mid,ls[k]);
    build(mid+1,r,rs[k]);
}

inline void update(int l,int r,int p,int las,int &k){
    k=++tot; sum[k]=sum[las]+1;
    ls[k]=ls[las],rs[k]=rs[las];
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    if(p<=mid) update(l,mid,p,ls[las],ls[k]);
    else update(mid+1,r,p,rs[las],rs[k]);
} 

inline int query(int l,int r,int s,int u,int v){
    if(l==r) return l;
    int mid=l+r>>1,x=sum[ls[v]]-sum[ls[u]];
    if(s<=x) return query(l,mid,s,ls[u],ls[v]);
    else return query(mid+1,r,s-x,rs[u],rs[v]); 
}

int main(){
    N=read(),Q=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=read();
    memcpy(B,A,sizeof(A));
    sort(B+1,B+1+N);
    M=unique(B+1,B+1+N)-B-1;
    build(1,M,rt[0]);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int p=lower_bound(B+1,B+1+M,A[i])-B;
        update(1,M,p,rt[i-1],rt[i]);
    }
    while(Q--){
        int l=read(),r=read(),k=read();
        printf("%d\n",B[query(1,M,k,rt[l-1],rt[r])]);
    }
    return 0;
}