【知识点】2-sat

2-sat问题：

给定$n$个二元组$(A,B)$，你需要从这些二元组中选取$n$个元素，每个二元组中必须恰好选择一个元素。

同时给出$m$个约束条件，每个条件形如“选A必须选B”、“选A就不能选B”等。求一种合法的选取方案。

 

思路：

考虑将所有约束条件转化成“选A必须选B”这种类型。

建立一个有$2\times n$个节点的图，对于每个条件我们连一条$A\rightarrow B$的有向边。

此时这张图满足一些性质：

1. 如果存在一个二元组$(A,B)$，使得A可达B且B可达A（即A、B在同一个强连通分量中），那么肯定无解。若不存在这样的二元组那么一定有解。
2. 若一个点被选入答案序列，那么这个点所有的可达节点都必须被选入。
3. 若一个点确定不被选入答案序列，那么所有可达这个点的节点都不能被选入。

基于后两个性质，我们考虑先将原图缩点（保证无环）。然后建立原图的反图。

按照反图的拓扑序依次选择节点并标记为选，同时将与该节点在同一二元组内的点标记为不选，将不选标记沿着路径传递。

该方法的证明见此：赵爽《2-SAT解法浅析》。

但实际上同一二元组内的两个点会在缩点后的DAG上直接或间接相连，而Tarjan求的强连通分量的顺序又恰好是反拓扑序。

所以直接Tarjan之后枚举所有二元组，选择拓扑序较大的那个即可。用反证法易证其正确性。

 

模板题目：loj10097

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<stack>

using namespace std;
#define MAXN 100005
#define MAXM 500005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

int N,M,hd[MAXN],to[MAXM],nxt[MAXM],cnt;
int dfn[MAXN],low[MAXN],cl[MAXN],tot,num;
bool vis[MAXN]; stack<int> s;

inline void addedge(int u,int v) {to[++cnt]=v,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;}

inline void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++num;
    vis[u]=1;s.push(u);
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(!dfn[v])
            tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
        else if(vis[v])
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        tot++;
        while(s.top()!=u){
            cl[s.top()]=tot;
            vis[s.top()]=0;
            s.pop();
        }
        cl[s.top()]=tot;
        vis[s.top()]=0;
        s.pop();
    }
}

int main(){
    N=read()<<1,M=read();
    for(int i=1;i<=M;i++){
        int u=read(),v=read();
        addedge(u,(v&1)?v+1:v-1);
        addedge(v,(u&1)?u+1:u-1);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    for(int i=1;i<=N;i+=2)
        if(cl[i]==cl[i+1]){
            printf("NIE\n");
            return 0;
        }
    for(int i=1;i<=N;i+=2)
        if(cl[i]<cl[i+1]) printf("%d\n",i);
        else printf("%d\n",i+1);
    return 0;
}