【知识点】平衡树——Treap和Splay
二叉搜索树($BST$):一棵带权二叉树,满足左子树的权值均小于根节点的权值,右子树的权值均大于根节点的权值。且左右子树也分别是二叉搜索树。(如下)
$BST$的作用:维护一个有序数列,支持插入$x$,删除$x$,查询排名为$x$的数,查询$x$的排名,求$x$的前驱后继等操作。
时间复杂度:$O(操作数\times 树深度)$。
也就是插入一个有序序列时复杂度稳定在$O(N^2)$……
平衡树:深度稳定在$O(log{节点数})$的$BST$。
使深度稳定的几种方法:增加一个破坏单调性的第二权值($Treap$),每插入一个数进行旋转保持平衡($Splay$),维护每个子树的$size$并使左右子树的$size$保持平衡($SBT$)等。
本文主要给出$Treap$和$Splay$的实现方法。
$Treap$:顾名思义,该数据结构是$Tree$与$Heap$的结合体。
思想:在第一关键字满足$BST$性质的同时,为每个节点随机生成一个第二关键字,并通过旋转使得第二关键字满足堆性质。
旋转:(网上讲的很清楚了w)分为左右旋两种,如图(图源网络):
例如:(图源网络,图中点内是第一关键字【满足$BST$】,点外是随机生成的第二关键字【满足堆】)
优点:常数小,实现简单。
缺点:应用范围较小,略有$0.001$%运气因素(能随机出来$10^5$个递增的数就可以去买彩票了w)
代码:
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<ctime> using namespace std; #define MAXN 100005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long struct Treap{ int l,r; //左儿子、右儿子 int num,rnd; //该节点的第一关键字(权值)、该节点的第二关键字 int cnt,siz; //该节点权值的出现次数、以该节点为根的子树的大小 }tr[MAXN]; int tot,root; //当前节点数、当前根节点 inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } inline void update(int k){ tr[k].siz=tr[k].cnt; tr[k].siz+=tr[tr[k].l].siz; tr[k].siz+=tr[tr[k].r].siz; return; } inline void zig(int &k){ //将以k为根的子树左旋(看图) int tp=tr[k].r; tr[k].r=tr[tp].l; //将k的右儿子置为k的右儿子的左儿子 tr[tp].l=k; //将k的右儿子的左儿子置为k tr[tp].siz=tr[k].siz; //右儿子成为新的根,size等于k的size update(k); //更新k的size k=tp; //以k为根的子树变为以k的右儿子为根的子树,换根 return; } inline void zag(int &k){ //将以k为根的子树右旋(同上) int tp=tr[k].l; tr[k].l=tr[tp].r; tr[tp].r=k; tr[tp].siz=tr[k].siz; update(k); k=tp;return; } inline void ins(int x,int &k){ //插入数x if(k==0){ //当前节点为空则在此处新建节点 k=++tot; tr[k].cnt=tr[k].siz=1; tr[k].rnd=rand(); tr[k].num=x; return; } tr[k].siz++; //插入的节点在该子树内,size+1 if(x==tr[k].num) tr[k].cnt++; //如果该数已经出现过则不用新建节点,将该节点的cnt+1即可 else if(x<tr[k].num){ ins(x,tr[k].l); //x小于当前节点的关键字则插入当前节点的左子树 if(tr[tr[k].l].rnd<tr[k].rnd) zag(k); //如果左儿子的第二关键字不满足小根堆性质就把左儿子转上来,容易证明此时一定满足堆性质 } else{ ins(x,tr[k].r); //x大于当前节点的关键字则插入当前节点的右子树 if(tr[tr[k].r].rnd<tr[k].rnd) zig(k); //同上 } return; } inline void del(int x,int &k){ //删除数x if(k==0) return; //如果x没出现则返回 if(x==tr[k].num){ if(tr[k].cnt>1) tr[k].cnt--,tr[k].siz--; //如果该节点出现次数>=1则不用移除节点,出现次数-1即可 else if(tr[k].l*tr[k].r==0) k=tr[k].l+tr[k].r; //如果该节点的儿子数<=1则可以直接删除,即拿它的儿子代替它 else if(tr[tr[k].l].rnd<tr[tr[k].r].rnd) zag(k),del(x,k); else zig(k),del(x,k); //否则将该节点旋转到可以直接删除的位置再删除 return; } tr[k].siz--; //删除的节点在该子树内,size-1 if(x<tr[k].num) del(x,tr[k].l); //x在当前节点的左子树 else del(x,tr[k].r); //x在当前节点的右子树 return; } inline int qrnk(int x,int k){ //查询x数的排名(相当于查询有多少个数小于x) if(k==0) return 0; if(x==tr[k].num) return tr[tr[k].l].siz+1; //找到了x,此时小于x的数的个数等于左子树的大小,排名需要+1 else if(x<tr[k].num) return qrnk(x,tr[k].l); //x在当前节点的左子树中,直接递归左子树 else return qrnk(x,tr[k].r)+tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt; //x在当前节点的右子树中,此时该节点及其左子树的权值均小于x,需要将这部分size加入答案 } inline int qnum(int x,int k){ //查询排名为x的数 if(k==0) return 0; if(tr[tr[k].l].siz<x && x<=tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt) return tr[k].num; //此时的排名正好确定在当前节点(大于等于当前节点的权值第一次出现的位置,小于等于该权值最后一次出现的位置),返回该节点的权值(第一关键字)即可 else if(tr[tr[k].l].siz>=x) return qnum(x,tr[k].l); // 排名为x的数在当前节点的左子树中,直接递归 else return qnum(x-(tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt),tr[k].r); //排名为x的数在当前节点的右子树中,此时该节点及其左子树不影响右子树中数的排名,需要减去这部分size } inline int qpre(int x,int k){ //查询x数的前驱(最大的小于x的数) if(k==0) return -INF; if(x<=tr[k].num) return qpre(x,tr[k].l); //x在当前节点的左子树中,此时该节点不影响答案,递归左子树 else return max(qpre(x,tr[k].r),tr[k].num); //x在当前节点的右子树中,此时该节点的权值小于等于x,又因为该节点的权值大于该节点左子树中的所有权值,将答案与k取max即可 } inline int qnxt(int x,int k){ //查询x数的后继(最小的大于x的数),基本同上 if(k==0) return INF; if(x>=tr[k].num) return qnxt(x,tr[k].r); else return min(qnxt(x,tr[k].l),tr[k].num); } int main(){ srand(time(0)); int T=read(); while(T--){ int op=read(),x=read(); switch(op){ case 1:ins(x,root);break; case 2:del(x,root);break; case 3:printf("%d\n",qrnk(x,root));break; case 4:printf("%d\n",qnum(x,root));break; case 5:printf("%d\n",qpre(x,root));break; case 6:printf("%d\n",qnxt(x,root));break; } }return 0; }
$Splay$:又名旋转树,该数据结构通过巧妙的双旋&单旋($splay$)使树保持平衡。
基本思想:每次插入/查找一个节点时便将其旋转到根,在旋转过程中使树“看起来”逐渐平衡。
旋转:同上,双旋时注意若三点一线则需要转中间节点不然会失衡。(例如图中$1,2,4$节点需要先转$2$)
优点:使用范围很广,可以维护各种奇怪的区间操作。
缺点:实现复杂,常数较大,时间复杂度大概在$O(N\times log^2 N)$左右。严格证明我也不会
例题:同上。
代码:(某同学没有要求就不加注释了,需要注释可以@我w)
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 100005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long struct node{ int v,f,siz,cnt,ch[2]; }tr[MAXN]; int rt,tot; inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } inline bool getf(int k){return tr[tr[k].f].ch[1]==k;} inline void update(int k){ tr[k].siz=tr[k].cnt; tr[k].siz+=tr[tr[k].ch[0]].siz; tr[k].siz+=tr[tr[k].ch[1]].siz; return; } inline void clear(int k){ tr[k].v=tr[k].f=0; tr[k].ch[0]=tr[k].ch[1]=0; tr[k].siz=tr[k].cnt=0; return; } inline void rotate(int k){ int f1=tr[k].f,f2=tr[f1].f;bool d=getf(k); tr[f1].ch[d]=tr[k].ch[d^1];tr[tr[k].ch[d^1]].f=f1; tr[k].ch[d^1]=f1;tr[f1].f=k;tr[k].f=f2; if(f2) tr[f2].ch[tr[f2].ch[1]==f1]=k; update(f1);update(k);return; } inline void splay(int k){ for(int fa;fa=tr[k].f;rotate(k)) if(tr[fa].f) rotate(getf(k)==getf(fa)?fa:k); rt=k;return; } inline int qrnk(int x){ int now=rt,ans=0; while(1){ if(x==tr[now].v){ ans+=tr[tr[now].ch[0]].siz+1; splay(now);return ans; } else if(x<tr[now].v) now=tr[now].ch[0]; else ans+=tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt,now=tr[now].ch[1]; } } inline int qnum(int x){ int now=rt; while(1){ if(tr[tr[now].ch[0]].siz<x && tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt>=x) return tr[now].v; else if(tr[tr[now].ch[0]].siz>=x) now=tr[now].ch[0]; else x-=tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt,now=tr[now].ch[1]; } } inline int qpre(){ int now=tr[rt].ch[0]; while(tr[now].ch[1]) now=tr[now].ch[1]; return now; } inline int qnxt(){ int now=tr[rt].ch[1]; while(tr[now].ch[0]) now=tr[now].ch[0]; return now; } inline void ins(int x){ if(!rt){ tr[++tot].v=x,tr[tot].f=0; tr[tot].ch[0]=tr[tot].ch[1]=0; tr[tot].siz=tr[tot].cnt=1; rt=tot;return; } int now=rt,fa=0; while(1){ if(x==tr[now].v){ tr[now].cnt++; update(now);update(fa); splay(now);break; } fa=now;now=tr[now].ch[x>tr[now].v]; if(!now){ tr[++tot].v=x,tr[tot].f=fa; tr[tot].ch[0]=tr[tot].ch[1]=0; tr[tot].siz=tr[tot].cnt=1; tr[fa].ch[x>tr[fa].v]=tot; update(fa);splay(tot); break; } } return; } inline void del(int x){ qrnk(x); if(tr[rt].cnt>1) tr[rt].cnt--,update(rt); else if(!tr[rt].ch[0] && !tr[rt].ch[1]) clear(x),rt=0; else if(!tr[rt].ch[0]){ int tp=rt;rt=tr[rt].ch[1]; tr[rt].f=0;clear(tp); } else if(!tr[rt].ch[1]){ int tp=rt;rt=tr[rt].ch[0]; tr[rt].f=0;clear(tp); } else{ int tp=rt;splay(qpre()); tr[rt].ch[1]=tr[tp].ch[1]; tr[tr[tp].ch[1]].f=rt; update(rt);clear(tp); } return; } int main(){ int T=read(); while(T--){ int opt=read(),x=read(); switch(opt){ case 1:ins(x);break; case 2:del(x);break; case 3:printf("%d\n",qrnk(x));break; case 4:printf("%d\n",qnum(x));break; case 5:ins(x);printf("%d\n",tr[qpre()].v);del(x);break; case 6:ins(x);printf("%d\n",tr[qnxt()].v);del(x);break; } } return 0; }