背包问题之0-1背包，多重背包，完全背包简单模板（个人笔记，可能有误）

/*
    背包问题简单的三类 0-1背包 多重背包 完全背包板子 
*/

/*
    0-1背包 
*/ 
//普通做法
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = w[i]; j <= c; j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);        //前者为取 后者为不取 
    }
} 

//空间复杂度优化 
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = c; j >= w[i]; j--){                                 
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    }
}

/*
    多重背包 多重背包的解题思路是将相同的物品i看做是独立的个体从而将问题转换至0-1背包 
*/
//普通做法（待验证） 
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int k = 1; k <= num[i]; k++){
        for(int j = w[i], j <= c; j++){
            if(w[i]*k <= j){
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]);        //同理前者为取 后者为不取 
            }
        }
    }
}

//优化空间复杂度 （待验证） 
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int k = 1; k <= num[i]; k++){
        for(int j = c; j >= w[i]; j--){
            if(j >= k*w[i]){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*w[i]] + k*v[i]);                    //同理前者为取 后者为不取 
            }
        }
    }
} 

/*
    完全背包 
*/
//普通做法（待验证） 
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int k = 1; k <= c/w[i]; k++){
        for(int j = w[i]; j <= c; j++){
            if(k*w[i] <= j){
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]);        //同理前者为取 后者为不取 
            }
        }
    }
}

//优化空间复杂度（待验证） 
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int k = 1; k <= c/w[i]; k++){
        for(int j = c; j >= w[i]; j--){
            if(j >= k*w[i]){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*w[i]] + k*v[i]);                    //同理前者为取 后者为不取
            }
        }
    } 
} 

//完全背包优化空间后更方便的写法
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = w[i]; j <= c; j++){
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);        //当物品为无限时顺序取正好满足无限的特性 
    }
}