几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线

几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线

目录

• 几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线
  • Bezier曲线
    • Bernstein基函数
    • Bezier曲线
    • Bernstein基函数与Bezier曲线的性质
    • De casteljau algorithm
    • 几何样条曲线
  • B样条
    • 样条曲线的统一表达
      • 基函数
      • B-spline curve
      • The de Boor algorithm

Bezier曲线

建模的两种形式：

1. 重建（Reconstruction）
   • 逆向工程：形状已有，要将其“猜”出来
   • 采样->拟合：需要函数空间足够丰富（表达能力够）
   • 代数观点：{a,b,c}作为基函数的组合权系数
2. 设计（Design）
   • 自由设计：凭空产生，或从一个简单的形状编辑得到
   • 交互式编辑：几何直观性要好
   • 几何观点：基函数{t²,t,1}作为控制点的组合权系数

二次多项式曲线（抛物线）：

\[f(y)=at^2+bt+c\\ \]

使用幂基表示曲线

\[f(t)= \begin {pmatrix} x(t)\\t(t) \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 1\\1 \end {pmatrix}t^2+ \begin {pmatrix} -2\\0 \end {pmatrix}t+ \begin {pmatrix} 1\\0 \end {pmatrix} \]

使用Bernstein基函数表达

\[f(t)= \begin {pmatrix} x(t)\\t(t) \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 1\\0 \end {pmatrix}(1-t)^2+ \begin {pmatrix} 0\\0 \end {pmatrix}2t(t-1)+ \begin {pmatrix} 0\\1 \end {pmatrix}t^2 \]

系数顶点与曲线关联性强，具有很好的几何意义，对于交互式曲线设计更直观.

Bernstein基函数

n次Bernstein基函数：\(B=({B_0^{(n)}, B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}})\)

\[B_i^{(n)}=\begin {pmatrix} n\\i \end {pmatrix}t^i(1-t)^{n-i}=B_{i-th basis function}^{(degree)}\\ \begin {pmatrix} n\\i \end {pmatrix}= \begin {cases} \frac {n!}{(n-i)!i!} &for 0 \le i \le n \\ 0 & otherwise \end {cases} \]

性质：

• 对称性：\(B_i^n(t)=B_{n-1}^n(1-t)\)

• \(B_i^{(n)}\)在\(t=\frac{i}{n}\)达到最大值

用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义

\[f(t)=\sum_{i=1}^n b_i(t)p_i \]

Bezier曲线

n次Berzier曲线：n+1个控制点

\[x(t)=\sum_{i=0}^n B_i^n(t)·b_i \]

Berzier曲线的性质来源于Bernstein基函数的性质。

Bernstein基函数与Bezier曲线的性质

• 正权性：正性+权性

  • \(B_i^{(n)}(t) \ge 0,t\in [0,1]\)
  • \(\sum_{i=1}^n B_i^{(n)}(t) = 1,t\in [0,1]\)

• 基性：B是次数不高于n的多项式集合（空间）的一组基

• 递推公式：

  • 基函数的递推公式：\(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t) \quad B_0^0(t)=1,B_i^{(n)}(t)=0\quad for\quad i\notin{0...n}\)
  • 高阶的基函数由两个低阶的基函数“升阶”得到，利于保持一些良好的性质

• 端点插值性：Bezier曲线经过首位两个控制顶点

• 导数：

  • \(f'(t)=n\sum_{i=0}^{n-1}B_i^{n-1}(t)(p_{i+1}-p_i)\)
  • \(f^{[r]}(t)=\frac{n!}{(n-r)!}\sum_{i=0}^{n-r}B_i^{n-r}(t)· \Delta ^rp_i\)

  Bezier曲线的端点性质

  • 端点插值：
  • 端点的切线方向与边相同
  • 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关

• 升阶：\((1-t)B_i^n(t)=(1-\frac{i}{n+1})B_i^{n+1}(t)\) => \(tB_i^n(t)=\frac{i+1}{n+1}B_i^{n+1}(t)\)

  Bezier曲线升阶：$$f(t)=\sum_{i=0}^{n+1}B_i(t)[\frac {n+1-i}{n+1}P_i+\frac{i}{n+1}P_{i-1}]$$

De casteljau algorithm

根据基函数的递推公式：\(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t)\)

给定一个t，就能求出x(t)：\(b_i^{(r)}=(1-n)b_i^{r-1}+tb_{i+1}^{(r-1)}\)

几何样条曲线

两Bezier曲线的拼接条件：

C⁰:

G¹：三点共线

C¹：三点共线且等长

C²：\(d^2/dt^2\)为\((p_2-2p_1+p_0),(p_n-2p_{n-1}+p_{n-2})\),阴影三角形相似

构造3次插值Bezier曲线的几何方法

工程中，在点p_i（0<i<n）处，作p_i-1和p_i+1连线的平行线，取1/6的位置作为控制点。一段曲线由四个点约束。

B样条

Bezier曲线（Bernstein基函数）存在全局性，不利于设计。

B样条曲线：分段Bezier曲线，具有局部性。

样条曲线的统一表达

基函数

均匀结点（Uniform）

\[N_i^1=\begin{cases}1,&i\le t \le i+1 \\0,&otherwise\end{cases}\\ N_i^k=\frac{t-i}{(i+k-1)-i}N_i^{k-1}(t)+\frac{(i+k)-t}{(i+k)-(i+1)}N_{i+1}^{k-1}(t)\\ =\frac{t-i}{k-1}N_i^{k-1}(t)+\frac{i+k-t}{k-1}N_{i+1}^{k-1}(t) \]

非均匀结点（\(t_0<t_1<....<t_n<...t_{n+k}\)）

\[N_{i,1}=\begin{cases}1,&t_i\le t \le t_{i+1} \\0,&otherwise\end{cases}\\ N_{i,k}=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{{i+1},{k-1}}(t)\\ for \quad k > 1\quad i=0...n \]

性质：

• \(N_{i,k}(t)>0\) for \(t_i<t<t_{i+k}\)（局部性）
• \(\sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)=1\) for \(t_{k-1}\le t \le t_{n+1}\) (权性)
• \(N_{i,k}(t)\)在\(t_j\)处是C^k-2

B-spline curve

给定n+1个控制点，\(d_0,...d_n\in R^3\)，\(T=(t_0,...t_{n+k})\)称为向量节点。

\[x(t)=\sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)·d_i \]

每多出一个重结点（Multiple knots），曲线的光滑性降一阶。

例如，k=4，n=5的B-spline curve

k重时（0,...,0,1,...,1）为Bernstein基。

The de Boor algorithm