几何建模与处理之三 参数曲线

几何建模与处理之三 参数曲线

在前两节中,学习了一元(单变量)函数\(f:R^1\to R^1\quad y=f(x)\)的数据拟合方法。接下下学习多元函数及多元函数的数据拟合。

多元函数

多元,即多变量,函数形式如下:

\[f:R^n\to R^1\quad \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\to y\\y=f(x_1,x_2,\dots,x_n) \]

多元函数的基函数构造需要引入张量积的概念。

张量积

定义:多个一元基函数的乘积形式

优点:定义简单

不足:随着维数增加,基函数个数急剧增加,导致变量技据增加(求解系统规模急剧增加,求解代价大)

二元函数的基函数:即用两个一元函数的基函数的相互乘积来定义

例: 二次二元多项式函数\(z=f(x,y)\)的基函数\(\lbrace 1,x,y,x^2,xy,y^2\rbrace\)

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张量积基函数:

多元函数的神经网络表达

用一个单变量函数\(\sigma(x)\)(激活函数)的不同仿射变换构造“基函数”:基函数数目可控

\[y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\omega_0+\sum_{j=1}^mw_i\sigma(a_j^1x_1+\dots+a_j^ix_i+\dots+a_j^nx_n+b_j) \]

向量值函数

向量值,即多个应变量

单变量向量值函数:

\[f:R^1\to R^m\quad x\to\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\\\begin {cases}y_1=f_1(x)\\\vdots\\y_m=f_m(x)\end{cases} \]

看成多个单变量函数,各个函数独立无关

几何解释:

一个实数\(x\in R^1\)映射到\(m\)维空间\(R^m\)的一个点,轨迹构成\(R^m\)的一条“曲线”,本质维度为1

平面参数曲线

函数形式:

\[f:R^1 \to R^2\quad \begin {cases}x=x(t)&t\in [0,1]\\y=y(t)&t\in [0,1]\end {cases} \]

几何解释:

一条曲线由一个变量参数𝑡决定,也称为单参数曲线,参数𝑡可看成该曲线的“时间”变量,可灵活表达非函数型的曲线(任意曲线)。

空间参数曲线

函数形式:

\[f:R^1 \to R^3\quad \begin {cases}x=x(t)\\y=y(t)&t\in [0,1]\\z=z(t)\end {cases} \]

几何解释:

一条曲线由一个变量参数𝑡决定,也称为单参数曲线,参数 𝑡可看成该曲线的“时间”变量,可灵活表达非函数型的曲线(任意曲线)。

参数曲面

\[f:R^2 \to R^3\quad \begin {cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)&(u,v)\in [0,1]×[0,1]\\z=z(u,v)\end {cases} \]

几何解释:

一张曲面由两个参数ሺ𝑢, 𝑣ሻ决定,也称为双参数曲面, 可灵活表达非函数型的任意曲面。

二维映射

\[f:R^2 \to R^2\quad \begin {cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end {cases}(u,v)\in [0,1]×[0,1]\\ \]

几何解释:

二维区域之间的映射,可看成特殊的曲面(第三个维度始终为 0 )

应用:图像变形

三维映射

\[f:R^3 \to R^3\quad \begin {cases}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end {cases}(u,v,w)\in [0,1]^3\\ \]

几何解释:

三维体区域之间的映射

应用:体形变、体参数化

降维映射(低维映射)

\[f:R^3\to R^2 \]

降维映射一般有信息丢失,丢失的信息大部分情况下不可逆,即无法恢复

一般映射

\[f:R^n\to R^m \]

如果\(n\lt m\),为低维到高维的映射(高维的超曲面,n维流形曲面),本征维度为n。如果\(n\lt m\),为降维映射,一般信息有损失, 如果\(R^n\)中的点集刚好位于一个𝑚 维(或小于𝑚 )的流形上,则映射可能是无损的,即可以被恢复的。

曲线拟合

曲线拟合问题

输入:给定平面上系列点\((x_i,y_i),i=1,2,\dots,n\)

输出:一条参数曲线,拟合这些点

\[f:R^1\to R^2\quad \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}t\in [0,1] \]

问题:对数据点\((x_i,y_i)\),对应哪个参数\(t_i\)?

误差度量:\(E=\sum_{i=1}^n \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix}x(t_i)\\y(t_i)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_i\\y_i\end{pmatrix}\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix} \mathbf p(t_i)-\mathbf p_i\end{Vmatrix}^2\) \(\mathbf p=\mathbf p(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\)

参数化问题

求数据点所对应的参数:一个降维的问题!

点列的参数化方法

  • Equidistant (uniform) parameterization 均匀参数化

\(t_{i+1}-t_i=const\)

\(e.g.t_i=i\)

Geometry of the data points is not considered
不考虑数据点的几何形状。

  • Chordal parameterization 弦长参数化

\(t_{i+1}-t_i=\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}\)

Parameter intervals proportional to the distances ofneighbored control points
参数间隔与相邻控制点的距离成正比

  • Centripetal parameterization 向心参数化

    \(t_{i+1}-t_i=\sqrt{\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}}\)

  • Foley parameterization Foley参数化

    lnvolvement of angles in the control polygon
    控制多边形中角的变化

    \(t_{t+1}-t_i=\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}·(1+\frac32\frac{\hat a_i\begin{Vmatrix} k_{i}-k_{i-1}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} k_{i}-k_{i-1}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}}+\frac32\frac{\hat a_{i+1}\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_{i}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_{i}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix} k_{i+2}-k_{i+1}\end{Vmatrix}})\)

    \(\hat a_i=\min(\pi-a_i,\frac\pi 2)\)

    \(a_i=\angle(k_{i-1},k_i,k_{i+1})\)

曲面参数化

三维的点找二维的参数:一个降维的问题

后续再学习

posted @ 2021-07-23 22:43  YIMG  阅读(536)  评论(0编辑  收藏  举报