P1103 书本整理 （DP）

书本整理

题目描述

Frank是一个非常喜爱整洁的人。他有一大堆书和一个书架，想要把书放在书架上。书架可以放下所有的书，所以Frank首先将书按高度顺序排列在书架上。但是Frank发现，由于很多书的宽度不同，所以书看起来还是非常不整齐。于是他决定从中拿掉k本书，使得书架可以看起来整齐一点。

书架的不整齐度是这样定义的：每两本书宽度的差的绝对值的和。例如有4本书：

$1 \times 2$
$5 \times 3$
$2 \times 4$
$3 \times 1$
那么Frank将其排列整齐后是：

$1 \times 2$
$2 \times 4$
$3 \times 1$
$5 \times 3$
不整齐度就是$2+3+2=7$

已知每本书的高度都不一样，请你求出去掉k本书后的最小的不整齐度。

输入格式

第一行两个数字$n$和$k$，代表书有几本，从中去掉几本。($1 \le n \le 100, 1 \le k<n$)

下面的$n$行，每行两个数字表示一本书的高度和宽度，均小于$200$。

保证高度不重复

输出格式

一行一个整数，表示书架的最小不整齐度。

样例 #1

样例输入 #1

4 1
1 2
2 4
3 1
5 3

样例输出 #1

3

解析

对高度进行排序后，高度就没用了，只需要对宽度进行分析。
题目中要求删去k本书，我们可以从反面考虑，即保留多少本书。
设$dp_{i,j}$表示枚举到第i本书（且第i本书必须保留）保留了j本书的最小不整齐度，从保留了j-1本书的状态进行转移，即$dp_{i,j}=min(dp_{t,j-1}+|a[i]-a[t]|)$,其中i从1枚举到n，因为i必须保留，所以j从1开始枚举到min(i,n-k)，t从j-1枚举到i-1,最后统计答案即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int n, k, dp[N][N], b[N];
struct node {
	int x, y;
	bool operator < (const node b) const {
		return x < b.x;
	}
}a[N];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i].x >> a[i].y;
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i].y;
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	for (int i = 0; i <= n; i ++) dp[i][1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		for (int j = 1; j <= min(i, n - k); j ++)
			for (int t = j - 1; t < i; t ++)
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[t][j - 1] + abs(b[i] - b[t]));
	int ans = INT_MAX;
	for (int i = n - k; i <= n; i ++) ans = min(ans, dp[i][n - k]);
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

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