欧拉路和欧拉回路

定义

1.欧拉路：从图中一个点出发遍历整张图，每条边通过且只通过一次
2.欧拉回路：起点等于终点的欧拉路
3.偶点：度为偶数的点
4.奇点：度为奇数的点
5.考察内容：判断欧拉（回）路的存在，输出欧拉（回）路的路径

判断欧拉（回）路的存在

前提：判断连通性，dfs或者并查集。
无向图：图中所有点都是偶点，则存在欧拉回路，任一点均可以成为起点和终点；只有两个奇点，则存在欧拉路，其中一个奇点是起点，另一个奇点是终点
有向图：图中所有点入度和出度均相等，则存在欧拉回路；只有一个点入度比出度大1，只有一个点出度比入度大1，剩下的点出入度均相等，则存在欧拉路

输出欧拉回路

1.随便输出一条，直接从起点跑，用栈存路径。
2.输出字典序最小的欧拉回路，如果数据规模较小，可以用邻接矩阵。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, u, v, g[1005][1005];
int s[N], top;
void dfs(int u) {
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (g[u][i]) {
			g[u][i] --;
			g[i][u] --;
			dfs(i);
		}
	}
	s[++ top] = u;
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		cin >> u >> v;
		g[u][v] ++, g[v][u] ++;
	}
	dfs(1);
	while (top) cout << s[top --] << " ";
	return 0;
}

数据较大，就需要用类似打标记的方法标记边的遍历情况。
例题：P7771 【模板】欧拉路径

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, u, v, del[N];
int du[N][2];//0入度，1出度 
vector<int> e[N];
stack<int> st;//用于存路径 
void dfs(int u) {
	for (int i = del[u]; i < e[u].size(); i = del[u]) {
		del[u] = i + 1;
		//这样表示u这个点的前i条出边都遍历过了，下一次到u点时要从i+1条边开始 
		//一笔画问题，走过一条边删一条边 
		dfs(e[u][i]); 
	}
	st.push(u);
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
		du[u][1] ++, du[v][0] ++;
	}
	//有字典序限制，用vector存图方便排序 
	for (int i = 1; i <= n; i ++) sort(e[i].begin(), e[i].end());
	int S = 1, cnt[2] = {0, 0};
	bool flag = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (du[i][1] != du[i][0]) flag = 0;
		if (du[i][1] - du[i][0] == 1) cnt[1] ++, S = i;
		if (du[i][0] - du[i][1] == 1) cnt[0] ++; 
	}
	//欧拉回路和欧拉路径都不存在，输出No 
	if ((!flag) && !(cnt[0] == cnt[1] && cnt[0] == 1)) return !printf("No");
	dfs(S); //从起点开始
	while (!st.empty()) printf("%d ", st.top()), st.pop();//输出路径 
	return 0; 
}

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