P1044 [NOIP2003 普及组] 栈 （卡特兰数）

[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\ldots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\ldots,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

解析

$h[i]$表示$i$个数形成的输出序列的总数，假设数$k$作为最后一个数出栈，那么前$k-1$个数和后面的$n-k$个数都是输出好的，有$h[k-1] * h[n-k]$种，$k$可以取$1...n$，那么一共就有$h[0]h[n - 1] + h[1]h[n - 2] + ... + h[n - 1]h[0]$种,这就是卡特兰数的递推式，直接套结论$h[n] = c[2n, n] - c[2n, n - 1]$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n, c[20];//c[i]表示c(2n, i),从2n个数中选i个的组合
signed main() {
	cin >> n;
	c[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)//递推处理组合数
		c[i] = c[i - 1] * (2 * n - i + 1) / i;
	cout << c[n] - c[n - 1] << '\n';
}
//h[n] = c[2n, n] - c[2n, n - 1]
//h[n] = h[0]h[n - 1] + h[1]h[n - 2] + ... + h[n - 1]h[0]

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