P7961 [NOIP2021] 数列 （DP 刷表法）

（n<=30，是个多维的DP）

v数组就是用来计算权值的，一共有m+1个。将S看做一个二进制数，按照题目S的定义，相当于在S的每一位可以随便+1（满足限制情况下），一共可以加n次。

我们来建立DP的维度，首先第一个i表示对二进制数处理到i位（从低位到高位），j表示使用了几个数（一共n个数可使用），为了满足题目要求，我们还要设置一个k表示此时的二进制一共有多少个1（题目要求不超过K），可能还会有进位的情况，再加一个p表示要向下一位进位的个数。

于是就有f[i][j][k][p]（表示这四维状态下的权值和），如果用填表法不好处理，那就用刷表法向后转移：

已经选了j个数，还剩下n-j个数，我们从剩下数中选择t个加入到i+1位，再处理一下进位的情况，就有f[i+1][j+t][k+(t+p)mod2][(t+p)>>1]+=f[i][j][k][p]*pv[i][t]*C[n-j][t]。pv和C在代码中均有解释。

处理完后最高位可能还有进位的情况，再简单的处理一下就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
#define ll long long
using namespace std;
ll ans, f[105][35][35][16], C[35][35], v[105], pv[105][35];

void init(int n) {//预处理组合数 
    for (int i = 0; i <= n; i++) C[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 1; j <= i; j++) 
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
}

int popcnt(int n) {//统计二进制下1的个数 
    int res = 0;
    while (n) res += n & 1, n >>= 1;
    return res;
}

int main() {
    init(30);
    int n, m, K;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &K);
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        scanf("%lld", &v[i]);
        pv[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) pv[i][j] = pv[i][j - 1] * v[i] % mod;//i^j
    }
    f[0][0][0][0] = 1;
    for (int i = 0; i <= m; i++)
        for (int j = 0; j <= n; j++)
            for (int k = 0; k <= K; k++)
                for (int p = 0; p <= n >> 1; p++)
                    for (int t = 0; t <= n - j; t++) {
                        f[i + 1][j + t][k + (t + p & 1)][(t + p) >> 1] = (f[i + 1][j + t][k + (t + p & 1)][(t + p) >> 1] + f[i][j][k][p] * pv[i][t] % mod * C[n - j][t] % mod) % mod;                                      
                    }
    for (int k = 0; k <= K; k++) 
        for (int p = 0; p <= n >> 1; p++)
            if (k + popcnt(p) <= K) 
                ans = (ans + f[m + 1][n][k][p]) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;                    
}