HDU1561 The more, The Better（树形背包）

通过这道题对树形背包理解更深一步......

有几个地方需要注意：

1.本题数据结构为森林，需增加一个超根作为根节点，M+=1（后面解释）。

2.本题有拓扑序的限制，通过vector建成的一棵树中，必须父节点选择了之后才可以往下选择孩子节点。

3.在以v为根的子树中选择k个节点，k必然小等于v的子树大小，所以dfs过程中维护子树大小并进行优化，效率会有很大提升。

关键在于dp过程中如何保证第2点：

dp[u][j]表示在u为根的子树中选择j个点所得最大值，将边界条件设为dp[u][1]=val[u]，这样就保证了在u为根的子树中选择1个点时只能是选择他自己，这样就能解决拓扑序的限制，我们的求解目标就是dp[0][M]，注意这个M是加1过的，因为我们增加一个超根，我们只有在选择超根后才能往下选，所以M要加1，且超根是没有权值的，所以对最后答案也就没有影响。

 

如何理解树形背包：回想背包的特点是什么，枚举i物品时前i-1个已经求解，所以相当于是在原来的基础上在更新最优解（这也是大多数DP的特点），我们在处理u节点时，首先求解到一棵子树v1，通过v1更新了dp[u][ ]，那么后面的v2，v3...也就基于前面的结果再次求解，最后能得到dp[u][ ]的最优解，代码类似于分组背包，还要注意倒推，因为每个节点只能被选1次。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=200+10;
int val[N],dp[N][N];
vector<int>E[N];

int dfs(int u,int M){//返回以u为根的子树大小 
    dp[u][1]=val[u];
    int sizeu=1,sizev=0;
    for(int i=0;i<E[u].size();i++){
        int v=E[u][i];
        sizev=dfs(v,M-1);
        for(int j=M;j>=1;j--)//类似分组背包倒推 
            for(int k=1;k<=sizev&&k<j;k++)
                 dp[u][j]=max(dp[u][j],dp[v][k]+dp[u][j-k]);
        sizeu+=sizev;
    }
    return sizeu;
}

int main(){
    int N,M;
    while(~scanf("%d%d",&N,&M),N+M){
        for(int i=0;i<=N;i++) E[i].clear();
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        M++;//增加超根后，M+1 
        val[0]=0;
        int u;
        for(int i=1;i<=N;i++){
            scanf("%d%d",&u,&val[i]);
            E[u].push_back(i);
        }
        dfs(0,M);
        printf("%d\n",dp[0][M]);
    }
    return 0;
}