洛谷P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项 （圆方树）

圆方树大致理解：将每个点双看做一个新建的点（方点），该点双内的所有点（圆点）都向新建的点连边，最后形成一棵树，可以给点赋予点权，用以解决相关路径问题。

在本题中，方点点权赋值为该点双的大小，因为两个点双最多有一个交点，将圆点赋为-1来去重，先用tarjan（）构建出圆方树，在跑一遍dfs，dfs枚举的是作为c的点，维护sz2[ ]（圆点个数，因为s和f只能是圆点），利用乘法原理累加答案即可。

注意代码中累加答案是要乘2,（s和f可以交换）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500010;
typedef long long ll;

struct node{
    int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],tot;
    void add(int u,int v){
        nxt[++tot]=head[u];head[u]=tot;to[tot]=v;
        nxt[++tot]=head[v];head[v]=tot;to[tot]=u;
    }
}G1,G2;
int dfn[N],low[N],st[N],sz[N],top,idx,tot,n,m,t1,t2,sznow;
//sznow存树中圆点个数 
void tarjan(int u){//建立圆方树 
    sz[u]=-1;++sznow;
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    st[++top]=u;//入栈 
    for(int i=G1.head[u];i;i=G1.nxt[i]){
        if(!dfn[G1.to[i]]){
            tarjan(G1.to[i]);
            low[u]=min(low[u],low[G1.to[i]]);
            if(dfn[u]<=low[G1.to[i]]){
                ++idx;
                int v;
                do{
                    v=st[top--];
                    G2.add(v,idx);
                    ++sz[idx];
                }while(v!=G1.to[i]);
                ++sz[idx];
                G2.add(u,idx);
                //将该点双看做一个点，内部的点向该点连边 
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[G1.to[i]]);
    }
}

ll ans;
int sz2[N];

void dfs(int u,int fa){
    sz2[u]=u<=n;    //只有圆点才可作为s或f，c在圆点方点都行
    for(int i=G2.head[u],v;i;i=G2.nxt[i]){
        if((v=G2.to[i])!=fa){//计算子树两两积 
            dfs(v,u);
            ans+=2ll*sz2[u]*sz2[v]*sz[u];
            sz2[u]+=sz2[v];
        }
    }
    ans+=2ll*sz2[u]*(sznow-sz2[u])*sz[u];
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    idx=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&t1,&t2);
        G1.add(t1,t2);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i]){//对于每个连通块都要先清空 
            sznow=0;
            top=0;
            tarjan(i);
            dfs(i,0);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

 

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