BZOJ2654 tree （wqs二分）

题目描述

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。

题目保证有解。

 

一个最小生成树问题，但是我们要选need条白边，我们用g(i)表示选取i条白边的最优方案（生成树的权值最小），那么可以大致猜出g(i)是关于i的一个下凸函数，可以发现斜率k是有单调性的，我们二分这个斜率k，相当于给每条白边的权值加上一个k，统计数量use，如果use>=need，说明k小了，要增大，同理，use<need，要减小k。

那么问题来了，如果说当前白边加上mid后，白边条数use>need了，如果加上mid+1后，use<need了要怎么办？

题目中说到了：保证有解，所以出现上述情况时一定有黑边==白边的边权

所以我们只需要把一条黑边换成白边就好，即我们排序时如果黑边权值等于白边，则白边优先。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50001
#define M 100001
int n,m,k;
struct node{
    int u,v,w,c;
}e[M];
int use,sum,fa[N];
bool cmp(node a,node b){
    if(a.w!=b.w) return a.w<b.w;
    return a.c<b.c;//黑边白边权值一样，优先选白边 
}
int find(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
} 
void check(int x){
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(e[i].c==0) e[i].w+=x;//白边加权值 
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    int now=0,fu,fv,j=1;
    use=0,sum=0;
    while(now!=n-1){
        fu=find(e[j].u);fv=find(e[j].v);
        if(fu!=fv){
            now++;
            fa[fu]=fv;
            if(e[j].c==0) ++use;//统计使用的白边数量 
            sum+=e[j].w;
        }
        ++j;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(e[i].c==0) e[i].w-=x;//还原 
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w,&e[i].c);
        ++e[i].u;++e[i].v;//题目是编号从0开始，要+1 
    }
    int l=-101,r=101,mid,ans;//值域[1,100]； 
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;check(mid);
        if(use>=k){
            ans=sum-k*mid;
            l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}