数组中最大的子数组之和
一个有N个整数元素的一维数组（A[0]、A[1],...A[n-1])，求子数组之和的最大值。
例子：
[1, -2, 3, 5, -3, 2] 返回：8
[0, -2, 3, 5, -1, 2] 返回：9
[-9, -2, -3, -5, -3] 返回：-2
思路：从头遍历数组元素，并累加求和，如果和小于0就自当前元素从新开始，否则就一直累加，取其中最大值便为解。
方法1：蛮力法 时间复杂度为O(N^2).
int MaxSum1(int *arr,int n)
{
int sum = 0,max = INT_MIN;
for(int i = 0; i<n; ++i)
{
sum = 0;
for(int j = i;j<n; ++j)
{
sum += arr[j];
if(sum>max)
max = sum;
}
}
return max;
}
方法2：这种方法网上很多，但是还是以编程之美上面提供的代码最为规范，它可以处理所有数都为负数和情况。大体思想，是如果子数组和为负数了，则抛弃现在在算的子数组，以下一个元素为头重新开始计算子数组之和，因为一个数与负数的和肯定会小于这个数本身。时间复杂度为： O(N)
int MaxSum2(int *A, int n)
{
int nStart = A[n-1];
int nAll = A[n-1];
for(int i = n-2;i>=0;--i)
{
if(nStart<0)
nStart = 0;
nStart += A[i];
if(nStart>=nAll)
{
nAll = nStart;
}
}
return nAll;
}
方法3：分治法
设A[i]为数组中的一个任意元素，则对于最大连续子数组和，有：
1、若最大子数组和中包括A[i]这个元素，则从A[i]往左找，找出左边的最大值，再从A[i]往右找，找出右边的最大值，相加即得。
2、若最大子数组和中不包括A[i]这个元素，则最大子数组和是A[0],...A[i-1]和A[i+1]...A[n-1]两个子数组最大和的最大值。
时间复杂度为O(NlgN)
int MaxSum3(int *A,int beg,int end)
{
if(beg==end)
return A[beg-1];
int mid = (beg+end)/2;
int left = MaxSum3(A,beg,mid);
int right = MaxSum3(A,mid+1,end);
int sum = A[mid-1];
int i = mid-1, j = mid+1;
int maxsum = A[mid-1];
while(i>=beg)
{
sum+= A[i-1];
if(sum>maxsum)
maxsum = sum;
--i;
}
sum = maxsum;
while(j<=end)
{
sum+=A[j-1];
if(sum>maxsum)
maxsum = sum;
++j;
}
int max = left>right?left:right;
max = max>maxsum?max:maxsum;
return max;
}
需要注意的是，如果考虑到数组首尾相连，需要按以下步骤做出改进：
1、先按不相连计算出最大值max
2、从尾往头扫描，找出最大值m1,并记录最大位置i,再从头往尾扫描，找出最大值m2, 并记录最大位置j,若i>j，则比较m1+m2与max，求出最大值,若i<=j，则令m = A[0]+A[1]+A[2]+...A[n-1]，求出m和max之间的最大值。
int MaxSum4(int *A, int n,int &beg,int &end)
{
if(A==NULL||n<=1)
{
cout<<"error input"<<'\n';
exit(0);
}
if(n==1)
return A[0];
int pos = 0;
int CurSum = A[0];
int MaxSum = A[0];
for(int i = 1; i<n;++i)
{
if(CurSum<=0)
CurSum = 0;
CurSum += A[i];
if(CurSum>=MaxSum)
{
MaxSum = CurSum;
pos = i;
}
}
int pos1 = 0,max1 = A[0];
CurSum = A[0];
for(int i = 1;i<=n-1;++i)
{
CurSum += A[i];
if(CurSum>=max1)
{
max1 = CurSum;
pos1 = i;
}
}
CurSum = A[n-1];
int pos2 = n-1, max2 = A[n-1];
for(int j = n-2; j>=0; --j)
{
CurSum += A[j];
if(CurSum>=max2)
{
max2 = CurSum;
pos2 = j;
}
}
int sum = 0;
if(pos1>=pos2)
{
for(int i = 0; i<n; ++i)
sum+=A[i];
}
else
{
for(int i = 0; i<=pos1; ++i)
{
sum+=A[i];
}
for(int j = n-1; j>=pos2; --j)
{
sum+=A[j];
}
}
int temp = MaxSum>sum?MaxSum:sum;
if(MaxSum==temp)
{
end = pos;
while(temp!=0)
{
temp-=A[pos--];
}
beg = ++pos;
return MaxSum;
}
else
{
if(pos1>=pos2)
{
beg = 0;
end = n-1;
}
else
{
end = pos2;
beg = pos1;
}
return sum;
}
return MaxSum>sum?MaxSum:sum;
}
