线段树入门

线段树是个好东西，首先要知道这些点：

1.线段树适用于任何区间修改和区间查询的操作，复杂度只有 O(logn) 贼快

2.线段树没有树状数组好写呢，~~其实也不难~~

3.线段树每一个点是管理一个区间！！

4.线段树不是所有节点都代表原数组的一个值，他可能会代表一个区间段中你想要的值

基础理论

首先上一个图

线段树

简单了解一下线段树

发现每一个节点的管理区间就是左右子所管理的区间相加

再看下一张图

将节点按照层序遍历编好号，发现：

一个节点的左孩子是它的编号的两倍，它的右孩子的编号是它的两倍加一

叶子节点管理的区间就只有它自己

发现问题

如果你使用前缀和去完成线段树的题目线段树模板1的话，你会发现：我c，还有修改！还特么是区间修改。

然后你会愉快地 TLE 然后放弃并失去信心。

下面就需要线段树了。

线段树进行单点修改时，其他子树上的节点根本就不用动！改它干嘛！

例如，你要改原数组中的第6个↓

那么你只用去改变节点 18、12、6、3、1 的区间和的值不就完了！什么4、5、10、11，一点关系都没有！

区间更改也能解决，不过需要一些其他的东西。

实现

首先看一看如何建树！

本文只介绍静态建点、递归建树！

先定义一个结构体：

struct st
{
	int s;
	int l,r;
   	int lazy;
}；

这个结构体就是一个节点！

l 和 r 分别代表这个节点管理的区间的左端点与右端点

s 是指它这个节点所管理的区间的和是多少

建树部分：

void buildtree(int i,int left,int right)
{
	t[i].l=left;
	t[i].r=right;
	if(left==right)
	{
		t[i].s=a[left];
		return ;
	}
	int mid=(left+right)/2;
	buildtree(lson,left,mid);
	buildtree(rson,mid+1,right);
	t[i].s=t[lson].s+t[rson].s;
}

首先：

参数left和right代表即将建树的部分

i代表你已经到的节点编号

接下来就可以快乐的把节点 i 的 l 和 r 赋值为 left 和 right了

如果i为叶子结点，也就是left==right时，直接把它的区间和赋值为a[left]

为什么是a[left]呢?

因为到了叶子结点,他所管理的就是他自己

算了,还是来张图吧:

比如说你要建第11个节点

看他的 l 和 r

发现都为5

所以直接赋值吧！毕竟它就是管理数组中下标为5的数

然后继续往下建树

根据上面的那张图可以发现：

他的左儿子管理的区间是 l 到 (l + r) / 2 ,右儿子是 (l+r)/2+1 到 r

所以向下建树吧

最后一步将左儿子的区间和加上右儿子的区间和就好了！

单点修改

在这里只阐述原理，不放出代码

先找到一个数

比如说第5个数：

更改以后也会更改的点有：5 2 1

所以只用把这些节点更改就完了

找到这个节点，再往根节点上去，将路途中的所有节点pushup一遍就完了

区间修改

讲区间修改之前，先简单讲讲懒惰标记

懒惰标记

懒惰标记是一个很好的东西，它好就好在可以降低区间修改的复杂度

具体是怎么用，是什么，接着看：

比如说我要修改区间2_{6（居然一直在用一个图，}_我真勤奋~）

~~我都懒得上图了，直接翻翻上面的~~

我们会发现第9，5，18个节点会被覆盖

再看一眼结构体：

struct st
{
	int s;
	int left;
	int right;
	int lazy;
}t[maxn*4];

有没有好奇那个lazy是干什么用的

那个lazy就是懒惰标记

当你发现当前节点所管理的区间已被需要修改的区间覆盖

立即停止，将懒惰标记加上你所需要增加的值，再把这个节点所管理的区间和更新一下，然后回溯

代码：

void pushdown(int i)
{
	if(t[i].lazy==0) return; 不需要更新
	if(t[i].left==t[i].right)
	{
		t[i].lazy=0; 已经到了叶子节点，结束。因为已经改过了，下面也没有左儿子或右儿子了
		return ;
	}
	t[lson].s+=(t[lson].right-t[lson].left+1)*t[i].lazy;将左子更改
	t[lson].lazy+=t[i].lazy;懒惰标记继承给左子，为了以后将左子的左子和右子pushdown更新
	t[rson].s+=(t[rson].right-t[rson].left+1)*t[i].lazy;同理
	t[rson].lazy+=t[i].lazy;
	t[i].lazy=0;
}
void change(int i,int left,int right,int d) d为需要加上的数值
{
	pushdown(i);
	if(t[i].left==left && t[i].right==right)
	{
		t[i].lazy=d;
		t[i].s+=(right-left+1)*d;所需要加上的和为：数量*需要加上的数值
		return ;
	}
	t[i].s+=(right-left+1)*d;
	if(t[lson].right>=right) change(lson,left,right,d);判断左子或右子是否有一部分被需要更改的区间覆盖
	else if(t[rson].left<=left) change(rson,left,right,d);
	else change(lson,left,t[lson].right,d),change(rson,t[rson].left,right,d);
}

如果你要用到i这个节点，你需要先pushdown一下，因为它的左儿子和右儿子都没有更新，所以需要先pushdown更新一下

区间更改完结撒花★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。

单点查询

与单点更改差不多，自己想一想吧(~~懒得写了~~ 比较简单）

区间查询

最后一个重点

还是看以前的图吧 ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛

接下来查询区间2~6

还是上一张图吧：

需要查询节点17，9，5，18的值

然后向上传递和

代码：

int query(int i,int l,int r)
{
	pushdown(i);
	if(t[i].left>=l&&t[i].right<=r)
		return t[i].s;
	int e=0;
	if(t[lson].right>=left)判断左子是否有覆盖部分 
		e+=quert(lson,l,r);有就加上 
	if(t[rson].left<=right)判断右子是否有覆盖部分 
		e+=query(rson,l,r);有就加上 
	return e;上传 
}