线性规划、对偶、费用流
线性规划转对偶
\[\max \mathbf{c}^T\mathbf{x}\\
\mathbf{Ax}\leq\mathbf{b}\\
\mathbf{x}\geq 0\\
\Updownarrow\\
\min \mathbf{b}^T\mathbf{y}\\
\mathbf{A}^T\mathbf{y}\geq\mathbf{c}\\
\mathbf{y}\geq 0
\]
费用流模型与其对偶
\[(u,v,c_{u,v},w_{u,v})\\
(S,u,b_u,0),b_u>0\\
(u,T,-b_u,0),b_u<0\\
\Updownarrow\\
\min \sum w_{u,v}f_{u,v}\\
-f_{u,v}\geq -c_{u,v}\\
\sum f_{v,u}-\sum f_{u,v}\geq -b_u\\
f_{u,v}\geq 0\\
\Updownarrow\\
\max \sum -c_{u,v}z_{u,v}-\sum -b_up_u\\
p_v-p_u-z_{u,v}\leq w_{u,v}\\
z_{u,v},p_u\geq 0\\
\Updownarrow\\
-\min\sum b_up_u+\sum c_{u,v}\max(0,p_v-p_u-w_{u,v})
\]
有时需新增变量 \(t=0\)，可以发现从 \(t\) 连出（入）的边等价于从 \(S\)（\(T\)）连出（入）。
