《浅谈格路计数相关问题》学习笔记

\(\text{Dyck}\) 路

格路

定义： 格点（整点）、平面格路（只经过格点的路径）、长度（所走步数）。

自由路

定义： 从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的，只用上步 \(U=(0,1)\) 和水平步 \(L=(1,0)\) 的格路称作 \((n,m)\) 自由路（free path） 。记 \((n,m)\) 自由路的集合为 \(\mathcal{F}(n,m)\)，数量为 \(F(n,m)=\#\mathcal{F}(n,m)\)。有 \(F(n,m)={n+m\choose n}\)。

\((n,m)-\text{Dyck}\) 路的计数

定义： 对于一条 \((n,m)\) 自由路，若其不经过对角线 \(y=\frac{m}{n}x\) 下方，则称其为 \((n,m)-\text{Dyck}\) 路。记 \((n,m)-\text{Dyck}\) 路的集合为 \(\mathcal{D}(n,m)\)，数量为 \(D(n,m)=\#\mathcal{D}(n,m)\)。

定义： 对于 \(P,Q\in \mathcal{F(n,m)}\)，其中 \(P=u_1u_2\ldots u_{n+m},Q=v_1v_2\ldots v_{n+m}(u_i,v_i\in\{U,L\})\)。若 \(\exists i,u_{i+1}u_{i+2}\ldots u_{n+m}u_1u_2\ldots u_i=v_1v_2\ldots v_{n+m}\)，则称 \(P,Q\) 等价。记 \(P\) 的等价格路集合为 \([P]\)。

定义： 对于 \(P=u_1u_2\ldots u_{n+m},\in \mathcal{F}(n,m)\)，记 \(P_k=u_{k+1}u_{k+2}\ldots u_{n+m}u_1u_2\ldots u_k\)，那么 \([P]=\{P_k|1\leq k\leq n+m\}\)。定义 \(P\) 的周期为最小的 \(k\) 使得 \(P=P_k\)，记作 \(period(P)\)。有 \(period(P)=\#[P]\)。

引理： 当 \(n\bot m\) 时，\(\forall P\in \mathcal{F}(n,m),period(P)=n+m\)。

引理： 当 \(n\bot m\) 时，\(\forall P\in \mathcal{F}(n,m),\#([P]\cap\mathcal{D}(n,m))=1\)。

证明： 存在性：若 \(P\notin\mathcal{D}(n,m)\)，找到一个在对角线下方且距离对角线最远的的 \(v\)，将 \(P\) 从 \(v\) 处断开分成两条子路 \(P=L_1L_2\)，那么 \(L_2L_1\in \mathcal{D}(n,m)\)；唯一性：即证在对角线下方且距离对角线最远的点唯一。假设存在两个这样的点，设为 \(v_1(x_1,y_1),v_2(x_2,y_2)(0<x_1<x_2<n,0<y_1<y_2<m)\)。那么 \(v_1v_2\) 与对角线平行，即 \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{m}{n}\)，与 \(m\bot n\) 矛盾。

定理： 当 \(n\bot m\) 时，\(D(n,m)=\frac{1}{n+m}{n+m\choose n}\)。

有 \(k\) 个峰的 \((n,m)-\text{Dyck}\) 路计数

定义： 对于一条 \((n,m)\) 自由路中的连续的两步。若为 \(UL\)，则称之为峰（peak），两步之间的点称作峰点；若为 \(LU\)，则称之为谷（valley），两部之间的点称作谷点。

定理： 记恰好有 \(k\) 个峰的 \((n,m)\) 自由路的集合为 \(\mathcal{F}(n,m;k)\)，数量为 \(F(n,m;k)=\#\mathcal{F}(n,m;k)\)。有 \(F(n,m;k)={n\choose k}{m\choose k}\)。

证明： \(\mathcal{F}(n,m;k)\) 与合法峰点集合 \(\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^k(0\leq x_1<x_2<\ldots<x_k<n,0\leq y_1<y_2<\ldots<y_k\leq m)\) 形成双射。

定理： 记恰好有 \(k\) 个峰的，首步为 \(U\)，末步为 \(L\) 的 \((n,m)\) 自由路的集合为 \(\mathcal{F}^{UL}(n,m;k)\)，数量为 \(F^{UL}(n,m;k)=\#\mathcal{F}^{UL}(n,m;k)\)。有 \(F^{UL}(n,m;k)={n-1\choose k-1}{m-1\choose k-1}\)。

证明： 第一个峰点的横坐标必须为 \(0\)，最后一个峰点的纵坐标必须为 \(m\)。

定理： 记恰好有 \(k\) 个峰的 \((n,m)-\text{Dyck}\) 路的集合为 \(\mathcal{D}(n,m;k)\)，数量为 \(D(n,m;k)=\#\mathcal{D}(n,m;k)\)。当 \(n\bot m\) 时，有 \(D(n,m;k)=\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{m-1\choose k-1}\)。

证明： 考虑将一条 \(\mathcal{D}(n,m;k)\) 中的格路从谷点处断开成 \(k\) 条子路，将 \(k\) 种子路的循环移位拼接与 \(\mathcal{F}^{UL}(n,m;k)\) 中的格路建立双射。

\(t-\text{Dyck}\) 路计数

定义： 对于一条 \((n,m)\) 自由路，若其不经过对角线 \(y=tx(t\in \mathbb{Z}^+)\) 下方，则称其为 \(t-\text{Dyck}\) 路。特别地，若 \(m=tn\)，则称之为 \(n\) 阶 \(t-\text{Dyck}\) 路。

定理： \(D(n,tn;k)=\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{tn\choose k-1}\)。

证明： 通过在开头添加/删除一个 \(U\)，建立 \(\mathcal{D}(n,tn;k)\) 与 \(\mathcal{D}(n,tn+1;k)\) 的双射（这一定合法，因为当 \(0\leq x\leq n\) 时，\(y=tx\) 与 \(y=\frac{tn+1}{n}x\) 之间没有整点）。而 \(n\bot tn+1\)，所以 \(D(n,tn;k)=D(n,tn+1;k)=RHS\)。

定理： \(D(n,tn)=\frac{1}{tn+1}{tn+n\choose n}\)。

证明： 可以仿照上一定理证明，也可以对上一定理的式子求和。

定理： 当 \(m\geq tn\) 时，从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的，恰好有 \(k\) 个峰的 \(t-\text{Dyck}\) 路的个数为 \(D_t(n,m;k)=\frac{m-tn+1}{n}{n\choose k}{m\choose k-1}\)。

定理： 当 \(m\geq tn\) 时，从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的 \(t-\text{Dyck}\) 路的个数为 \(D_t(n,m)=\frac{m-tn+1}{m+1}{n+m\choose n}={n+m\choose n}-t{n+m\choose n-1}\)。

\(\text{Dyck}\) 路的另一种等价定义

\(n\) 阶 \(t-\text{Dyck}\) 路是在 \(x\) 轴上方以上步 \(U_t=(1,t)\)，下步 \(D=(1,-1)\)，从 \((0,0)\) 到 \(((t+1)n,0)\) 的格路。记 \(n\) 阶 \(t-\text{Dyck}\) 路的集合为 \(\tilde{\mathcal{D}}_t(n)\)，数量为 \(\tilde{D}_t(n)=\#\tilde{\mathcal{D}}_t(n)\)。记恰有 \(k\) 个峰的 \(n\) 阶 \(t-\text{Dyck}\) 路的集合为 \(\tilde{\mathcal{D}}_t(n;k)\)，数量为 \(\tilde{D}_t(n;k)=\#\tilde{\mathcal{D}}_t(n;k)\)。

定理： \(\tilde{\mathcal{D}}_t(n)\) 与 \(\mathcal{D}(n,tn)\) 构成双射。

证明： 对于 \(P\in\mathcal{D}(n,tn)\)，将其倒序得到 \(P'\)，然后把 \(L\) 替换为 \(U_t\)，\(U\) 替换为 \(D\) 即可得到 \(\tilde{\mathcal{D}}_t(n)\) 中的格路。反向的映射同理。

不相交格路

若无特殊说明，以下的路对均无序。

\(n\) 阶不交 \(\text{Dyck}\) 路计数

定义： 对于 \(P,Q\in\mathcal{D}(n,n)\)，称 \((P,Q)\) 为 \(n\) 阶 \(\text{Dyck}\) 路对。若 \(Q\) 始终不穿过 \(P\)，则称 \((P,Q)\) 为一个不交 \(\text{Dyck}\) 路对，否则称为相交 \(\text{Dyck}\) 路对。

定理： \(n\) 阶不交 \(\text{Dyck}\) 路对数为

\[\left|\begin{array}{c}C_n&C_{n+1}\\C_{n+1}&C_{n+2}\end{array}\right|=C_nC_{n+2}-C_{n+1}^2 \]

其中 \(C_n=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}\)，为卡特兰数的第 \(n\) 项。

证明： 不妨假设 \(P\) 始终在 \(Q\) 的上方，构造映射 \((P,Q)\rightarrow(\tilde{P},\tilde{Q})\)，其中 \(\tilde{P}=UUPLL\)，\(\tilde{Q}\) 为将 \(Q\) 向 \((1,1)\) 平移一格后得到的从 \((1,1)\) 到 \((n+1,n+1)\) 的 \(\text{Dyck}\) 路。那么 \((P,Q)\) 相交当且仅当 \((\tilde{P},\tilde{Q})\) 有交点。考虑用总的 \((\tilde{P},\tilde{Q})\) 对数（为 \(C_nC_{n+2}\)）减去有交点的对数。后一部分可以从第一个交点处拆开，建立与两条 \(n+1\) 阶 \(\text{Dyck}\) 路（后一条从 \((1,1)\) 开始）的双射，方案数为 \(C_{n+1}^2\)。

定理： \(k\) 条 \(n\) 阶不交 \(\text{Dyck}\) 路对数为

\[det(C_{n+i+j})_{i,j=0}^{k-1}=\left|\begin{array}{c}C_n&C_{n+1}&\ldots&C_{n+k-1}\\C_{n+1}&C_{n+2}&\ldots&C_{n+k-2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n+k-1}&C_{n+k-2}&\ldots&C_{n+2k-2}\end{array}\right| \]

证明： 经过平移转化为无交点后利用 LGV 引理计算。

不交自由路对计数

定义： 对于 \(P,Q\in\mathcal{F}(n,m)\)。若 \(Q\) 始终不穿过 \(P\)，则称 \((P,Q)\) 为一个不交自由路对。若除起点和终点外 \(P\) 与 \(Q\) 无公共点，则称 \((P,Q)\) 为一个不接触自由路对。

定理： 记所有从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的不接触自由路队的集合为 \(\mathcal{F}_{nt}(n,m)\)，个数为 \(F_{nt}(n,m)=\#\mathcal{F}_{nt}(n,m)\)。有 \(F_{nt}(n,m)=\frac{1}{n}{n+m-1\choose n-1}{n+m-2\choose n-1}\)。

证明： 利用 LGV 引理直接计算：

\[F_{nt}(n,m)=\left|\begin{array}{c}F(n-1,m-1)&F(n-2,m)\\F(n,m-2)&F(n-1,m-1)\end{array}\right|\\={n+m-2\choose n-1}^2-{n+m-2\choose n}{n+m-2\choose n-2}=RHS \]

定理： 记所有从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的不相交自由路队的集合为 \(\mathcal{F}_{nc}(n,m)\)，个数为 \(F_{nc}(n,m)=\#\mathcal{F}_{nc}(n,m)\)。有 \(F_{nc}(n,m)=\frac{1}{n+1}{n+m+1\choose n}{n+m\choose n}\)。

证明： 对于 \((P,Q)\in \mathcal{F}_{nc}(n,m)\)，不妨假设 \(P\) 始终在 \(Q\) 的上方，那么 \((UPL,LQU)\in \mathcal{F}_{nt}(n+1,m+1)\)，形成双射。

例题

[NOI2018] 冒泡排序

简要题意

给定一个 \(n\) 阶排列 \(q\)，求有多少个字典序严格大于 \(q\) 的 \(n\) 阶排列 \(p\)，满足用冒泡排序将 \(p\) 排好序的最少次数为 \(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n|i-p_i|\)。

题解

容易发现，合法的 \(p\) 等价于没有长度 \(>2\) 的下降子序列。若没有字典序限制，可以考虑 dp：记 \(f_{i,x}\) 为填到第 \(i\) 位，前缀最大值为 \(x\) 的合法方案数。那么 \(f_{i,x}=[x\geq i]\sum_{y=1}^{x}f_{i-1,y}\)，这是因为当 \(i\) 填的不是 \(x\) 时只能填未填入的最小数。由于前 \(i\) 位的前缀最大值一定不小于 \(i\)，所以答案为 \(D(n,n)\)。加入字典序的限制之后，枚举 \(p_i>q_i\) 的最小 \(i\)（同时要保证 \(q_{1\ldots i-1}\) 合法），答案为 \(\sum_{i=1}^{k-1}D_1(n-mx_i-1,n-i+1)\)，其中 \(k\) 为 \(q\) 的最小非法前缀长度（若 \(q\) 合法则为 \(n+1\)），\(mx_i\) 为 \(q\) 的前 \(i\) 位最大值。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#define P 998244353
#define N 600005

inline int fmo(int x){
	return x+((x>>31)&P);
}

int T;

int n;

int fac[N<<1],ifac[N<<1];
inline void init(int x){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=x;i++)
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%P;
	ifac[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;i++)
		ifac[i]=fmo(P-1ll*P/i*ifac[P%i]%P);
	ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=x;i++)
		ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*ifac[i]%P;
}

inline int C(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x<y)
		return 0;
	return 1ll*fac[x]*ifac[y]%P*ifac[x-y]%P;
}
inline int D1(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x>y)
		return 0;
	return fmo(C(x+y,x)-C(x+y,x-1));
}

std::set<int> s;

int ans;

int main(){
	init(12e5);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			s.insert(i);
		ans=0;
		bool flg=0;
		for(int i=1,mx=0;i<=n;i++){
			int a;
			scanf("%d",&a);
			if(flg)
				continue;
			mx=std::max(mx,a);
			ans=fmo(ans+D1(n-mx-1,n-i+1)-P);
			if(a<mx&&a!=*s.begin())
				flg=1;
			s.erase(a);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}