希尔排序增量研究
上一篇介绍了希尔排序，它又被称为缩小增量排序，这就说明了增量在希尔排序中的重要性。
本篇使用四组不同的增量，通过统计排序的比较次数、移动次数、执行时间，来讨论不同的增量对希尔排序效率的影响。
选取的增量：h1=N/2, N/4, N/8,……,1（每次增量减半）
h2=N/3, N/9, N/27,……,1（每次增量为原来的三分之一）
h3=2ⁿ-1 (h=1,3,7,……)（增量为奇数）
h4=(3ⁿ-1)/2 (h=1,4,13,……)
1、保持序列元素个数不变
保持序列元素个数为1000000，每次随机生成不同的序列，对四个增量分别做4组排序。
| 增量h | 比较次数 | 移动次数 | 执行时间（ms） | 平均时间（ms） |
| h1 | 70899317 | 53401514 | 390 | 409 |
| 71248646 | 53751082 | 437 | ||
| 63125216 | 45628028 | 406 | ||
| 65709200 | 48211399 | 406 | ||
| h2 | 58908538 | 47827463 | 328 | 367 |
| 57271566 | 46192005 | 360 | ||
| 58745050 | 47664214 | 422 | ||
| 58158118 | 47077871 | 359 | ||
| h3 | 63337835 | 45942623 | 391 | 434 |
| 62261484 | 44866301 | 422 | ||
| 64507400 | 47112762 | 485 | ||
| 65932139 | 48537533 | 438 | ||
| h4 | 67600938 | 56206667 | 359 | 398 |
| 62428374 | 51034112 | 390 | ||
| 67867685 | 56472626 | 453 | ||
| 63794589 | 52400141 | 391 |
从测试的结果来看，当序列元素个数相同时，对四种增量分别用生成的四组随机数排序时，它们的比较次数、移动次数以及执行时间等参数差别不大。因此可以认为对于待排序列的元素个数相同的情况下，基于以上四种增量的序列，希尔排序算法的时间复杂度差异不是很明显，执行效率差别不大。
2、序列的元素个数改变
使序列元素个数增加，分别取10000、100000、1000000、10000000，每次随机生成不同的序列，对四个增量分别排序。
| 元素个数 | 增量h | 比较次数 | 移动次数 | 执行时间（ms） |
| 10000 | h1 | 266301 | 151388 | 0 |
| h2 | 242150 | 171389 | 0 | |
| h3 | 237881 | 129346 | 15 | |
| h4 | 238686 | 167816 | 0 | |
| 100000 | h1 | 4270009 | 2820476 | 32 |
| h2 | 4174584 | 3267076 | 15 | |
| h3 | 3959590 | 2543037 | 32 | |
| h4 | 3867292 | 2941534 | 31 | |
| 1000000 | h1 | 66890878 | 49393622 | 422 |
| h2 | 59190877 | 48110274 | 360 | |
| h3 | 59872906 | 42478486 | 406 | |
| h4 | 62805422 | 51410564 | 375 | |
| 10000000 | h1 | 1035250229 | 820261049 | 5301 |
| h2 | 1167560154 | 1036812889 | 5532 | |
| h3 | 980127157 | 772150177 | 5294 | |
| h4 | 9659604955 | 854508598 | 5378 |
从测试结果可以看出，不同长度的序列使用四个增量分别进行排序时，比较次数、移动次数、排序时长有一定差异。当元素个数较少时，增量为h2=N/3, N/9, N/27,……,1的希尔排序效率比其他增量略高；
当元素个数较多时，增量为h4=(3ⁿ-1)/2 (h=1,4,13,……)的希尔排序效率比其他增量略高。
综上所述，希尔排序算法在不同增量下的执行效率也不尽相同，增量是影响希尔排序效率的重要因素。遗憾的是，虽然有很多论文专门研究过不同的增量对希尔排序的影响，但都无法证明某个增量是最好的。因此在使用希尔排序时，根据排序序列的大小，选取适当的增量对提高排序效率很有帮助。
参考代码：以Java为例。
import java.util.Random; /* * 希尔排序 */ public class ShellSort { //增量h=N/2 static long comp1 = 0; //比较次数 static long exch1 = 0; //交换次数 public static void sort1(int[] a) { int n = a.length; //序列长度 int h = n/2; //初始增量h为序列长度的一半 while (h >= 1) { for (int i = h; i < n; i++) { for (int j = i; j >= h; j -= h) { comp1++; if(a[j]<a[j-h]){ int swap = a[j]; a[j] = a[j-h]; a[j-h] = swap; exch1++; }else{ break; } } } h /= 2; //增量减半 } } //增量h=N/3 static long comp2 = 0; //比较次数 static long exch2 = 0; //交换次数 public static void sort2(int[] a) { int n = a.length; //序列长度 int h = n/3; //初始增量h为序列长度的三分之一 while (h >= 1) { for (int i = h; i < n; i++) { for (int j = i; j >= h; j -= h) { comp2++; if(a[j]<a[j-h]){ int swap = a[j]; a[j] = a[j-h]; a[j-h] = swap; exch2++; }else{ break; } } } h /= 3; //增量减为三分之一 } } //增量h=2ⁿ-1 (h=1,3,7……) static long comp3 = 0; //比较次数 static long exch3 = 0; //交换次数 public static void sort3(int[] a) { int n = a.length; //序列长度 int h = 1; while (h < n/2) h = 2*h + 1; while (h >= 1) { for (int i = h; i < n; i++) { for (int j = i; j >= h; j -= h) { comp3++; if(a[j]<a[j-h]){ int swap = a[j]; a[j] = a[j-h]; a[j-h] = swap; exch3++; }else{ break; } } } h /= 2; } } //增量h=(3ⁿ-1)/2 (h=1,4,13……) static long comp4 = 0; //比较次数 static long exch4 = 0; //交换次数 public static void sort4(int[] a) { int n = a.length; //序列长度 int h = 1; while (h < n/3) h = 3*h + 1; while (h >= 1) { for (int i = h; i < n; i++) { for (int j = i; j >= h; j -= h) { comp4++; if(a[j]<a[j-h]){ int swap = a[j]; a[j] = a[j-h]; a[j-h] = swap; exch4++; }else{ break; } } } h /= 3; } } public static void main(String[] args) { Random random = new Random(); int[] arg = new int[10000]; for(int n=0;n<10000;n++){ //从[0-10000]中生成10000个随机数 arg[n] = random.nextInt(10000); } int[] arg1 = new int[arg.length]; int[] arg2 = new int[arg.length]; int[] arg3 = new int[arg.length]; int[] arg4 = new int[arg.length]; for(int n=0;n<arg.length;n++){ //将随机生成的数组复制到4个数组中 arg1[n] = arg[n]; arg2[n] = arg[n]; arg3[n] = arg[n]; arg4[n] = arg[n]; } //分别对4个元素相等的数组用4个不同增量排序 long startTime1 = System.currentTimeMillis(); //获取开始时间 sort1(arg1); long endTime1 = System.currentTimeMillis(); //获取结束时间 long startTime2 = System.currentTimeMillis(); //获取开始时间 sort2(arg2); long endTime2 = System.currentTimeMillis(); //获取结束时间 long startTime3 = System.currentTimeMillis(); //获取开始时间 sort3(arg3); long endTime3 = System.currentTimeMillis(); //获取结束时间 long startTime4 = System.currentTimeMillis(); //获取开始时间 sort4(arg4); long endTime4 = System.currentTimeMillis(); //获取结束时间 System.out.println("数组长度："+arg.length); System.out.println("增量h=N/2的比较次数： "+comp1+" 交换次数："+exch1+" 排序时长："+(endTime1-startTime1)+"ms"); System.out.println("增量h=N/3的比较次数： "+comp2+" 交换次数："+exch2+" 排序时长："+(endTime2-startTime2)+"ms"); System.out.println("增量h=2ⁿ-1的比较次数： "+comp3+" 交换次数："+exch3+" 排序时长："+(endTime3-startTime3)+"ms"); System.out.println("增量h=(3ⁿ-1)/2的比较次数："+comp4+" 交换次数："+exch4+" 排序时长："+(endTime4-startTime4)+"ms"); } }
执行结果：
数组长度：10000 增量h=N/2的比较次数： 265465 交换次数：150579 排序时长：0ms 增量h=N/3的比较次数： 230360 交换次数：159712 排序时长：0ms 增量h=2ⁿ-1的比较次数： 238035 交换次数：129679 排序时长：15ms 增量h=(3ⁿ-1)/2的比较次数：227429 交换次数：156614 排序时长：0ms
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