递归算法时间复杂度

1：代入

【举   例】我们有如下的递归问题：T(n)=4T(n/2)+O(n)
我们首先预测时间复杂度为O(n2),不妨设T(n)=kn^2（其中k为常数），将该结果带入方程中可得：左=kn^2，右=4k(n/2)2+O(n)=kn^2+O(n)
由于n^2的阶高于n的阶，因而左右两边是相等的，接下来用数学归纳法进行验证即可。

2：递推

           

            例子： T(n)=2T(n/2)+n²

              

              直到n/2^(i+1)=1时，递归过程结束

              

3：Master定理

• T(n)表示时间复杂度，可以这样表示：T(n)=一个单项式，例如：T(n)=2T(n/2)+f(n)
  
• Θ 读音：theta，表示等于
• O 读音：big oh，表示小于等于
• o 读音：small oh，表示小于
• Ω 读音：big omega，表示大于等于
• ω 读音：small omega，表示大于

      

     

4：递归树（参考https://www.cnblogs.com/wu8685/archive/2010/12/21/1912347.html）

递归树的规则为：
　　(1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下值；
　　(2) 每个节点的分支数为k；
　　(3) 每层的右侧标出当前层中所有节点的和

      例子1：第二个方法里T(n)=2T(n/2)+n²

     

     

        图中所有节点之和为:[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²     

       可知其时间复杂度为O(n²)

       例子2：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

        

     可见每层的值都为n，从根到叶节点的最长路径是：

　　

　　因为最后递归的停止是在(2/3)^kn == 1.则

　　　　　　

　　于是

　　　　

　　即T(n) = O(nlogn)　

     总结，利用此方法解递归算法复杂度：

　　f(n) = af(n/b) + d(n)

　　1.当d(n)为常数时：

　　

　　2.当d(n) = cn 时：

 　　

　　3.当d(n)为其他情况时可用递归树进行分析。