题

题目描述

小 X 遇到了一道题：

给定自然数 a,ba,ba,b，求满足下列条件的自然数对 (x,y)的个数：

y^2−x^2=ax+b

他不会，只好求助于精通数学的你。

如果有无限多个自然数对满足条件，那么你只需要输出 inf 即可。

输入格式

一行两个整数 a,b。

输出格式

如果个数有限，一行一个整数，表示个数。

如果个数无限，一行一个字符串 inf。

输入输出样例

输入 #1 

5 15

输出 #1 

1

输入 #2 

4 4

输出 #2 

inf

输入 #3 

12 6

输出 #3

0

输入 #4 

96 96

输出 #4 

7

输入 #5 

10000 9999997

输出 #5

6

对于100%数据，a<=10^8,b<=10^15

似乎鸽了很久

$$y^2-x^2=ax-b$$

有$$y^2=x^2+ax+b$$

$$y^2=(x+{a/2})^2+b-a^2/4$$

$$4y^2=(2*x+a)^2+4b-a^2$$

$$a^2-4b=(2x-2y+a)(2x+2y+a)$$

令$$A=2x-2y+a,B=2x+2y+a$$

有$$x=(A+B-2*a)/4,y=(B-A)/2$$

由于x，y为整数，所以对于$$S=a^2-4b=AB$$

A和B模4的值相同

根据x的表达式，发现要根据a的奇偶性特殊判断

至于特殊情况包括如下：

S=0时，有$$（2x+a）^2=y^2$$输出inf

S<0时将一个因数取负再带入x的表达式（A和B都可以，这是显然的）

所以枚举S的因数并判断即可，复杂度$$O(sqrt(S))$$

由于常数比较大，所以%4用&3代替

菜鸡已经一年多没搞竞赛了，啥也不会，巨佬们就当看个热闹，如有错误，望轻喷

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long long ans,a,b,S,k1,k2,k3,k4,sqr;
int flag,sign;
int main()
{int i;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    S=a*a-4*b;
    if (S==0)
    {
        cout<<"inf";
        return 0;
    }
    flag=0;
    if (S<0) flag=1,S=abs(S);
    if (a&1) sign=1;
    else sign=0;
    //cout<<sqrt(S)<<endl;
    sqr=sqrt(S);
    for (i=1;i<=sqr;i++)
    if (S%i==0)
    {
        //cout<<i<<' '<<S/i<<' '<<i%4<<' '<<S/i%4<<endl;
        k4=(i+S/i);k3=(S/i-i);
        k1=i&3;k2=(S/i)&3;
        if (flag)
        {
            k1=(4-k1)&3;
            if (((k2-k1)&3)==0&&((((k1+k2)/2)&1)==sign)&&k3>=2*a)
            ans++;
        }
        else 
            if (((k2-k1)&3)==0&&((((k1+k2)/2)&1)==sign)&&k4>=2*a)
              ans++;
    }
    cout<<ans;
}