支持子树操作的动态树(魔改LCT)
众所周知，\(LCT\) 可以算是最广为人知的动态树，
支持在 \(O(\log n)\) 的时间复杂度内进行对链上的大部分修改、查询操作
可它是否能支持对子树的修改、查询呢？
为了在之后更好证明各种维护子树的 \(LCT\) 的时间复杂度，
我首先证明一下 \(LCT\) 的时间复杂度(限于个人能力暂且忽略常数)：
-
在 \(LCT\) 的一颗 \(splay\) 中进行一次 \(local splay\) 的时间复杂度均摊为 \(O(\log(sz(\acute x))-\log(sz(x))+1)\)
其中 \(x\) 与 \(\acute x\) 分别代表伸展前后的节点，\(sz(x)\) 代表 \(x\) 节点在原树中的子树的大小。
证明可具体参见其他 \(splay\) 的时间复杂度证明，只是改了权值罢了 -
\(LCT\) 中 \(access\) 的时间复杂度均摊为 \(O(\log(n))\)
首先发现 \(\log(sz(\acute x))-\log(sz(x))\) 在 \(access\) 中 \(splay\) 多次后时间叠加起来小于等于 \(\log(n)\)
所以只需证 \(access\) 经过链的个数均摊为 \(O(\log n)\):
定义势能函数为 \(LCT\) 中虚边与重边边（轻重链剖分得到的）重合的边(下称重虚边)的个数 ，
则一次 \(access\) 经过的重虚边会以 \(O(1)\) 的时间让势能 \(−1\)，时间总和均摊约去
经过的全部轻虚边会至多将势能增加轻虚边个数，即 \(O(\log(n))\)，同时经过轻虚边需 \(O(\log(n))\),
加起来是 \(O(\log(n))\) 的，得证。其他操作全基于 \(access\) ，同样是 \(O(\log(n))\) 的均摊复杂度。
再转回我们的正题上，
对子树修改的关键，可以发现，最主要是需要对 \(LCT\) 中每个节点的虚儿子进行维护。
我们可以考虑对虚儿子再用一些数据结构来维护。
而影响虚儿子的操作有如下这些：
-
\(splay\) ：
当一个节点被伸展时，它将会成为当前整颗 \(splay\) 的父节点的一个虚儿子，
而原先这颗 \(splay\) 的根节点将被从它父节点的虚儿子中移除 -
\(access\) ：
\(son[x][1]=y\) 这一段简短的代码意味着
若 \(y\) 节点存在，将其从 \(x\) 的虚儿子中移除
若 \(son[x][1]\) 存在，将其加入 \(x\) 的虚儿子中 -
\(link\) :
只是将一个节点 \(makeroot\) 然后加入另一个节点的虚儿子中
于是我们的数据结构只需支持添加、删除节点，同时能支持下放标记即可。
但由于此时标记是基于整棵树的，并不能在 \(splay\) 之前只对当前这颗 \(splay\) 下放标记
必须是从整棵 \(LCT\) 的根节点所在的 \(splay\) 的根开始传标记，在虚儿子间利用这个数据结构放标记
若每次 \(splay\) 前都这样全局 \(pushdall\) ，时间复杂度就 \(O(\log(n)^2)\) 了（比TopTree还慢）
减小时间复杂度的一个方法是只在 \(access\) 前全局 \(pushall\)，这个时间花费与 \(access\) 时间将等价
而这个数据结构怎么写才能尽可能缩小时间复杂度呢？
方法一
有一个很无脑且时间复杂度较大、常数特大、空间开销极大的方法。
就是直接对每个点开一个动态开点的线段树记录虚儿子。
单次加点、删点、下传标记稳稳要 \(O(\log(n))\)，且不能优化，还要写垃圾回收；
\(access\) 时间复杂度稳稳落在 \(O(\log(n)^2)\)，虽然代码还算好写。
方法二
由于原先 \(LCT\) 就用了 \(splay\)，
可以考虑再同时用 \(splay\) 来维护虚儿子（这应该就是所谓的 \(AAATree\) ）
这个时候单次 \(access\) 的时间不一定就是 \(O(\log(n))\) ，
主要原因是 \(splay\) 在删除节点时需要找到它的前驱/后继旋到根再删，难以保证时间复杂度。
理由如下：
我们将维护虚儿子的 \(splay\) 与 \(LCT\) 中的 \(splay\) 看在一起。
同分析 \(splay\) 的时间复杂度一样，我们定义势能函数 \(\Phi=\sum\limits_{i=1}^{n}\log(sz(i))\)
其中\(sz(x)\) 代表 \(x\) 节点的子树的大小（包括两种 \(splay\) 中的节点）。
在 \(splay\) 时,设原先的根为 \(y\) ，\(y\) 在虚儿子的 \(splay\) 的前驱是 \(py\)，要旋转的节点是 \(x\)
设 \(y,py,x\) 旋到虚子树的 \(splay\) 的根后分别是 \(\acute y,\acute {py},\acute x\) 。（以下若无特殊声明皆为此意）
则在更改虚儿子（ \(y\) 旋到根，查前驱并旋到根再删 \(y\)，\(x\) 在 \(splay\) 上二分插入并旋到根）
与将 \(x\) 旋到当前 \(LCT\) 中的 \(splay\) 的根的摊还时间复杂度之和
\(=O(\log(sz(\acute y))-\log(sz(y))+\log(sz(\acute {py}))-\log(sz(py))+\log(sz(\acute x))-\log(sz(x)))+O(1)\)
由于 \(y\) 是当前 \(LCT\) 上的 \(splay\) 的根，且无论谁旋到虚子树的 \(splay\) 的根 \(sz()\) 不变
所以有 \(sz(y)\geq sz(x)\) 以及 \(sz(\acute y)=sz(\acute x)\)
因此摊还时间复杂度 \(\leq O(2*(\log(sz(\acute x))-\log(sz(x)))+\log(sz(\acute {py}))-\log(sz(py)))+O(1)\)
尽管 \(sz(\acute {py})=sz(\acute x)\) ，但由于 \(sz(py)\) 与 \(sz(x)\) 并不能得知谁大谁小，
故时间复杂度难以保证，单次 \(access\) 可被卡成至多 \(O(\log(n)^2)\)
于是 \(LCT\) 就真的不能做到如同 \(\text{TopTree}\) 的 \(O(\log(n))\) 的 \(access\) 时间了吗？
并非如此。
方法三
这种方法的启发主要还是参考了 \(\text{Tarjan}\) 的 \(\text{TopTree}\) 论文。
我们在维护虚儿子的 \(splay\) 中换一种方式插入节点，够造成一个类似于 \(\text{LeafyTree}\) 的结构。
具体来说就是多用一些辅助节点构成整颗 \(splay\) ，
每个辅助节点必有两个儿子，表示原树虚儿子的“真实”节点都在叶子结点上。
这样整棵树的节点个数仍然是 \(O(n)\) 的。
若在删一个节点时，由于其没有左右儿子，直接连带他的父节点从整个 \(splay\) 中移除，
再将其原先父节点的父节点旋到根，更新一下即可，
而事实上更多时候我们只需要“替换”某一个节点的信息，同样直接改然后旋到根更新信息，十分方便。
而此时时间复杂度就在于旋到根的 \(splay\) 操作，这显然还是 \(O(\log(sz(\acute x))-\log(sz(x)))\)，
其中 \(\acute x\) 代表虚子树上 \(splay(x)\) 后的节点
那么对于 \(splay\) 操作，像上文一样设原先的根为 \(y\) ，当前要旋到根的点是 \(x\)。
则摊还时间是
\(access\) 时我们分以下几种情况讨论：
-
\(y\) 节点与 \(son[x][1]\) 都存在：在维护虚儿子的 \(splay\) 上 \(y\) 的信息替换成 \(son[x][1]\) 的信息，
摊还时间为 \(O(\log(sz(\acute y))-\log(sz(y))+1)\leq O(\log(sz(\acute x))-\log(x)+1)\) -
\(y\) 节点存在，\(son[x][1]\) 为空：在维护虚儿子的 \(splay\) 上删除 \(y\)，时间复杂度同上。
-
\(y\) 节点不存在，\(son[x][1]\) 存在：直接插入 \(son[x][1]\) 到 \(x\) 的虚儿子中，时间远小于 \(O(\log(n))\)
这只能在 \(access\) 最开始出现此情况一次，插入不会成为复杂度瓶颈。 -
\(y\) 节点与 \(son[x][1]\) 都为空：什么都不做。
又由于链的个数均摊为 \(O(\log(n))\)，
我们可以得知单次 \(access\) 时间复杂度均摊为 \(O(\log(sz(root))-\log(sz(x))+\log(n))\leq O(\log(n))\)
最后提一个细节：为了让打标记不会一次打多个节点，
在实际实现时对每个点的虚儿子维护的 \(splay\) 时多加一个不动的根
给出三种方法的分别的代码(以CF916E为例，主要应为操作少，好写)：
方法一：(评测结果：第 \(56\) 个点 \(TLE\)，时间和空间都被卡)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=8e6+10;
int n,m,tot,x,y,opt,rt=1;ll v,ans;
int root[N];
struct tree{int l,r;ll s,tag;int sz;}t[M];
queue<int> q;char ch;
void read(ll &x){bool f=0;x=0;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();if(f)x=-x;}
void read(int &x){x=0;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();}
void write(ll x){if(x>=10)write(x/10);putchar('0'+x%10);}
int anc[N],son[N][2],rev[N],size[N];ll sum[N],w[N],tag[N];
void init(int &k){t[k].s=t[k].l=t[k].r=0;}
void newnode(int &k){if(!q.empty())k=q.front(),q.pop();else k=++tot,init(k);}
void del(int &k){init(k);q.push(k);k=0;}
void pushup_(int k){t[k].s=t[t[k].l].s+t[t[k].r].s;t[k].sz=t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz;}
void tag_1(int k,ll v){t[k].s+=v*t[k].sz;t[k].tag+=v;}
void tag_(int x,ll v){sum[x]+=v*size[x];tag[x]+=v;w[x]+=v;if(root[x])tag_1(root[x],v);}
void pass(int x,int k){if(t[k].tag){tag_(x,t[k].tag);t[k].tag=0;}}
void copy(int k,int x){t[k].s=sum[x];t[k].sz=size[x];}
void pushdown1(int k){
if(t[k].tag){
if(t[k].l)tag_1(t[k].l,t[k].tag);
if(t[k].r)tag_1(t[k].r,t[k].tag);
t[k].tag=0;
}
}
void update(int l,int r,int &k,int pos,int b){
if(!k)newnode(k);
if(l==r){if(b)copy(k,l);else del(k);return;}
int mid=(l+r)>>1;pushdown1(k);
if(pos<=mid)update(l,mid,t[k].l,pos,b);
else update(mid+1,r,t[k].r,pos,b);
pushup_(k);if(!b&&!t[k].s)del(k);
}
void pushdown1(int l,int r,int k,int pos){
if(l==r)return pass(l,k);
int mid=(l+r)>>1;pushdown1(k);
if(pos<=mid)pushdown1(l,mid,t[k].l,pos);
else pushdown1(mid+1,r,t[k].r,pos);
}
void rev_(int x){rev[x]^=1;swap(son[x][0],son[x][1]);}
bool p(int x){return son[anc[x]][1]==x;}
bool isroot(int x){return son[anc[x]][0]!=x&&son[anc[x]][1]!=x;}
void fix(int x){
if(!x)return;
sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+w[x]+t[root[x]].s;
size[x]=size[son[x][0]]+size[son[x][1]]+1+t[root[x]].sz;
}
int rotate(int x){int y=anc[x],xx=anc[y];bool b=p(x),bb=p(y);
anc[x]=xx;if(!isroot(y))son[xx][bb]=x;son[y][b]=son[x][b^1];
anc[son[x][b^1]]=y;son[x][b^1]=y;anc[y]=x;fix(y);fix(x);fix(xx);
}
void pushdown(int x){
if(rev[x]){
if(son[x][0])rev_(son[x][0]);
if(son[x][1])rev_(son[x][1]);
rev[x]=0;
}
if(tag[x]){
if(son[x][0])tag_(son[x][0],tag[x]);
if(son[x][1])tag_(son[x][1],tag[x]);
tag[x]=0;
}
}
void pushall_(int x){
if(!isroot(x))pushall_(anc[x]);
else if(anc[x]){pushall_(anc[x]);pushdown1(1,n,root[anc[x]],x);}
pushdown(x);
}
void pushall(int x){
if(!isroot(x))pushall(anc[x]);
pushdown(x);
}
int getroot(int x){if(isroot(x))return x;return getroot(anc[x]);};
void splay(int x){pushall(x);int y=getroot(x);
if(anc[y])update(1,n,root[anc[y]],y,0),update(1,n,root[anc[y]],x,1);
for(int i=anc[x];i=anc[x],!isroot(x);rotate(x)){
if(!isroot(i)){if(p(x)==p(i))rotate(i);else rotate(x);}
}
}
int access(int x){pushall_(x);int y=0;
for(;x;y=x,x=anc[x]){
splay(x);
if(y)update(1,n,root[x],y,0);
if(son[x][1])update(1,n,root[x],son[x][1],1);
son[x][1]=y;fix(x);
}
return y;
}
int findrt(int x){
pushdown(x);
while(son[x][0])pushdown(x=son[x][0]);
return splay(x),x;
}
void makeroot(int x){access(x);splay(x);rev_(x);}
void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
void link(int x,int y){split(x,y);anc[x]=y;update(1,n,root[y],x,1);fix(y);}
void subtree_add(int x,ll v){
split(rt,x);
sum[x]+=v*(t[root[x]].sz+1);w[x]+=v;
tag_1(root[x],v);
}
int lca(int x,int y){
makeroot(rt);
access(x);return access(y);
}
main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;i++)read(w[i]),fix(i);
for(int i=1;i<n;i++)read(x),read(y),link(x,y);y=0;
while(m--){
read(opt),read(x);
if(opt==1)rt=x;
if(opt==2)read(y),read(v),subtree_add(lca(x,y),v);
if(opt==3){
split(rt,x);
ans=t[root[x]].s+w[x];
if(ans<0)putchar('-'),write(-ans);
else write(ans);
putchar('\n');
}
}
}
方法二 (评测结果：\(AC\)(\(1.13\min\)))
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,x,y,opt,root=1;ll v,ans;
int son[N][2],anc[N],sz[N],rt[N],rev[N];ll sum[N],w[N],tag[N];
void tag_(int x,ll v);
struct Splay{
int son[N<<1][2],anc[N<<1],sz[N<<1],wsz[N<<1];ll sum[N<<1],wsum[N<<1],tag[N<<1];
void tag_1(int x,ll v){
sum[x]+=sz[x]*v;
wsum[x]+=wsz[x]*v;
tag[x]+=v;
if(x<=n)tag_(x,v);
}
void pushdown(int x){
if(tag[x]){
if(son[x][0])tag_1(son[x][0],tag[x]);
if(son[x][1])tag_1(son[x][1],tag[x]);
tag[x]=0;
}
}
void pushall(int x){
if(anc[x])pushall(anc[x]);
pushdown(x);
}
void fix(int x){if(!x)return;sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+wsum[x];
sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+wsz[x];
}
bool p(int x){return son[anc[x]][1]==x;}
void rotate(int x){int y=anc[x],xx=anc[y];bool b=p(x),bb=p(y);
anc[x]=xx;if(xx)son[xx][bb]=x;son[y][b]=son[x][b^1];
anc[son[x][b^1]]=y;son[x][b^1]=y;anc[y]=x;fix(y);fix(x);fix(xx);
}
void splay(int x,int rt){pushall(x);
for(int i=anc[x];i=anc[x],i!=rt;rotate(x))if(anc[i]!=rt){
if(p(x)==p(i))rotate(i);else rotate(x);
}
}
void ins(int x,int y,ll sum_,int sz_){
wsum[x]=sum_,wsz[x]=sz_;fix(x);int tmp=rt[y],f=0;
while(1){
if(!tmp){son[f][x>f]=x;anc[x]=f;fix(f);return splay(x,rt[y]);}
pushdown(tmp);
f=tmp;tmp=son[tmp][x>tmp];
}
}
void clear(int x){wsz[x]=sz[x]=wsum[x]=sum[x]=son[x][0]=son[x][1]=anc[x]=tag[x]=0;}
int pre(int x){x=son[x][0];while(son[x][1])x=son[x][1];return x;}
void del(int x,int y){
splay(x,rt[y]);
if(!son[x][0]&&!son[x][1])return clear(x),son[rt[y]][0]=0,fix(rt[y]),void();
int b=!son[x][0]?0:!son[x][1]?1:-1;
if(~b)return anc[son[rt[y]][0]=son[x][b^1]]=rt[y],clear(x),fix(rt[y]),void();
int xx=pre(x);splay(xx,rt[y]);son[xx][1]=son[x][1];
anc[son[x][1]]=xx;clear(x);fix(xx);fix(rt[y]);
}
}S;
void tag_(int x,ll v){sum[x]+=v*sz[x];w[x]+=v;tag[x]+=v;S.tag_1(rt[x],v);}
void rev_(int x){rev[x]^=1;son[x][0]^=son[x][1]^=son[x][0]^=son[x][1];}
bool p(int x){return son[anc[x]][1]==x;}
bool isroot(int x){return son[anc[x]][0]!=x&&son[anc[x]][1]!=x;}
void fix(int x){
if(!x)return;
sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+w[x]+S.sum[rt[x]];
sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+1+S.sz[rt[x]];
}
void pushdown(int x){
if(rev[x]){if(son[x][0])rev_(son[x][0]);
if(son[x][1])rev_(son[x][1]);rev[x]=0;}
if(tag[x]){if(son[x][0])tag_(son[x][0],tag[x]);
if(son[x][1])tag_(son[x][1],tag[x]);tag[x]=0;}
}
void pushall(int x){
if(!isroot(x))pushall(anc[x]);
pushdown(x);
}
void pushall_(int x){
if(!isroot(x))pushall_(anc[x]);
else if(anc[x]){pushall_(anc[x]);S.pushall(x);}
pushdown(x);
}
void rotate(int x){int y=anc[x],xx=anc[y];bool b=p(x),bb=p(y);
anc[x]=xx;if(!isroot(y))son[xx][bb]=x;son[y][b]=son[x][b^1];
anc[son[x][b^1]]=y;son[x][b^1]=y;anc[y]=x;fix(y);fix(x);fix(xx);
}
int findrt(int x){if(!isroot(x))return findrt(anc[x]);return x;}
void splay(int x){pushall(x);int y=findrt(x);
if(anc[y]&&x!=y)S.del(y,anc[y]),S.ins(x,anc[y],sum[y],sz[y]);
for(int i=anc[x];i=anc[x],!isroot(x);rotate(x))
if(!isroot(i)){if(p(i)==p(x))rotate(i);else rotate(x);}
}
int access(int x){
int y=0;pushall_(x);
for(;x;y=x,x=anc[x]){
splay(x);
if(y)S.del(y,x);
if(son[x][1])S.ins(son[x][1],x,sum[son[x][1]],sz[son[x][1]]);
son[x][1]=y;fix(x);
}
return y;
}
void makeroot(int x){access(x);splay(x),rev_(x);}
void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
void link(int x,int y){split(x,y);anc[x]=y;S.ins(x,y,sum[x],sz[x]);fix(y);}
void subtree_add(int x,ll v){
split(root,x);
sum[x]+=v*(S.sz[rt[x]]+1);w[x]+=v;
S.tag_1(rt[x],v);
}
int lca(int x,int y){
makeroot(root);
access(x);return access(y);
}
main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&w[i]),fix(i),rt[i]=i+n;
for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),link(x,y);
while(m--){
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1)root=x;
if(opt==2)scanf("%d%lld",&y,&v),subtree_add(lca(x,y),v);
if(opt==3){
split(root,x);
ans=sum[son[x][1]]+S.sum[rt[x]]+w[x];
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
方法三(评测结果：\(AC\)(\(54.87s\)))
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,x,y,opt,root=1;ll v,ans;
int son[N][2],anc[N],sz[N],rt[N],rev[N];ll sum[N],w[N],tag[N];
void tag_(int x,ll v);
struct leafy_Splay{
int son[N<<2][2],anc[N<<2],sz[N<<2],wsz[N<<2],tot;ll sum[N<<2],wsum[N<<2],tag[N<<2];
queue<int> q;
void tag_1(int x,ll v){
sum[x]+=sz[x]*v;
wsum[x]+=wsz[x]*v;
tag[x]+=v;
if(x<=n)tag_(x,v);
}
void fix(int x){if(!x)return;sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+wsum[x];
sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+wsz[x];}
bool p(int x){return son[anc[x]][1]==x;}
int newnode(){if(!q.empty()){int x=q.front();return q.pop(),x;}return ++tot;}
void pushdown(int x){
if(tag[x]){
if(son[x][0])tag_1(son[x][0],tag[x]);
if(son[x][1])tag_1(son[x][1],tag[x]);
tag[x]=0;
}
}
void pushall(int x){
if(anc[x])pushall(anc[x]);
pushdown(x);
}
void rotate(int x){int y=anc[x],xx=anc[y];bool b=p(x),bb=p(y);
anc[x]=xx;if(xx)son[xx][bb]=x;son[y][b]=son[x][b^1];
anc[son[x][b^1]]=y;son[x][b^1]=y;anc[y]=x;fix(y);fix(x);fix(xx);
}
void splay(int x,int y){pushall(x);
for(int i=anc[x];i=anc[x],i!=y;rotate(x))
if(anc[i]!=y){if(p(x)==p(i))rotate(i);else rotate(x);}
}
void split(int x,int y){
int a=0;
if(anc[x]!=rt[y])splay(a=anc[x],rt[y]);
if(anc[x]!=a&&anc[x]!=rt[y])splay(anc[x],a);
pushdown(anc[x]);pushdown(x);
}
void ins(int x,int y,ll sum_,int sz_){
wsum[x]=sum_;wsz[x]=sz_;fix(x);int tmp=rt[y],f=0;pushdown(tmp);
if(!son[rt[y]][0])return anc[son[rt[y]][0]=x]=rt[y],fix(rt[y]);
while(1){
if(!tmp){
tmp=newnode();anc[son[anc[f]][p(f)]=tmp]=anc[f];
son[tmp][x>f]=x;anc[x]=tmp;
son[tmp][x<f]=f;anc[f]=tmp;
fix(f);fix(tmp);fix(anc[tmp]);
return splay(tmp,rt[y]);
}
pushdown(tmp);
f=tmp;tmp=son[tmp][x>tmp];
}
}
void clear(int x){wsz[x]=sz[x]=wsum[x]=sum[x]=son[x][0]=son[x][1]=anc[x]=0;
if(x>(n<<1))q.push(x);}
void del(int x,int y){
if(anc[x]==rt[y])return son[rt[y]][0]=0,fix(rt[y]),clear(x);
int yy=anc[x],xx=anc[yy];bool b=p(x),bb=p(yy);
if(xx==rt[y]){
anc[son[rt[y]][0]=son[yy][b^1]]=rt[y];
clear(x),clear(yy),fix(rt[y]);
return;
}
anc[son[xx][p(yy)]=son[yy][b^1]]=xx;
clear(x);clear(yy);fix(xx);splay(xx,rt[y]);fix(rt[y]);
}
void display(int x,int xx,ll sum_,int sz_,int y){
wsum[xx]=sum_;wsz[xx]=sz_;fix(xx);int yy=anc[x];
anc[son[yy][p(x)]=xx]=yy;clear(x);fix(yy);
if(yy!=rt[y])splay(yy,rt[y]);fix(rt[y]);
}
}S;
void rev_(int x){rev[x]^=1;son[x][0]^=son[x][1]^=son[x][0]^=son[x][1];}
void tag_(int x,ll v){sum[x]+=v*sz[x];w[x]+=v;tag[x]+=v;S.tag_1(rt[x],v);}
bool p(int x){return son[anc[x]][1]==x;}
bool isroot(int x){return son[anc[x]][0]!=x&&son[anc[x]][1]!=x;}
void fix(int x){
if(!x)return;
sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+w[x]+S.sum[rt[x]];
sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+1+S.sz[rt[x]];
}
void pushdown(int x){
if(rev[x]){if(son[x][0])rev_(son[x][0]);
if(son[x][1])rev_(son[x][1]);rev[x]=0;}
if(tag[x]){if(son[x][0])tag_(son[x][0],tag[x]);
if(son[x][1])tag_(son[x][1],tag[x]);tag[x]=0;}
}
void pushall(int x){
if(!isroot(x))pushall(anc[x]);
pushdown(x);
}
void pushall_(int x){
if(!isroot(x))pushall_(anc[x]);
else if(anc[x]){
pushall_(anc[x]);
S.pushall(x);
}
pushdown(x);
}
void rotate(int x){int y=anc[x],xx=anc[y];bool b=p(x),bb=p(y);
anc[x]=xx;if(!isroot(y))son[xx][bb]=x;son[y][b]=son[x][b^1];
anc[son[x][b^1]]=y;son[x][b^1]=y;anc[y]=x;fix(y);fix(x);fix(xx);
}
int findrt(int x){if(isroot(x))return x;return findrt(anc[x]);}
void splay(int x){pushall(x);int y=findrt(x);
if(anc[y]&&x!=y)S.display(y,x,sum[y],sz[y],anc[y]);
for(int i=anc[x];i=anc[x],!isroot(x);rotate(x)){
if(!isroot(i)){if(p(i)==p(x))rotate(i);else rotate(x);}
}
}
int access(int x){
int y=0;pushall_(x);
for(;x;y=x,x=anc[x]){
splay(x);
if(y&&son[x][1])S.display(y,son[x][1],sum[son[x][1]],sz[son[x][1]],x);
else if(!y&&son[x][1])S.ins(son[x][1],x,sum[son[x][1]],sz[son[x][1]]);
else if(y&&!son[x][1])S.del(y,x);
son[x][1]=y;fix(x);
}
return y;
}
void makeroot(int x){access(x);splay(x),rev_(x);}
void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
void link(int x,int y){split(x,y);anc[x]=y;S.ins(x,y,sum[x],sz[x]);fix(y);}
void subtree_add(int x,ll v){
split(root,x);
sum[x]+=v*(S.sz[rt[x]]+1);w[x]+=v;
S.tag_1(rt[x],v);
}
int lca(int x,int y){
makeroot(root);access(x);return access(y);
}
main(){
scanf("%d%d",&n,&m);S.tot=n<<1;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&w[i]),fix(i),rt[i]=i+n,S.fix(i);
for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),link(x,y);
while(m--){
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1)root=x;
if(opt==2)scanf("%d%lld",&y,&v),subtree_add(lca(x,y),v);
if(opt==3){
split(root,x);
ans=sum[son[x][1]]+S.sum[rt[x]]+w[x];
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
目前本人已实现过的题：
P6589 关系树 （吊打标算）
虽然实现起来十分好写，但遗憾的是常数确实要比 \(\text{TopTree}\) 大将近 \(1.5\) 倍。
