YACS 2022年12月月赛 甲组 T1 分割序列 题解

题目链接

这题是 子串的平均数 的进阶版，建议先去做子串的平均数再来做这一题。

双倍经验：$LuoguP2344$。

暴力

先考虑 $O(n^2)$ $dp$，设 $f[i]$ 为分到第 $i$ 头牛的合法方案数。

那么枚举这一组怎么分，就可以了。

状态转移方程：$f[i]=\sum _{j=0}^{i-1}(su{m}_i\ge su{m}_j)\times f[j]$

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int a[200005], f[200005];
long long sum;
int main () {
　　cin >> n;
　　for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
　　f[0] = 1;
　　for (int i = 1; i <= n; i ++) {
　　　　long long sum = 0;
　　　　for (int j = i; j >= 1; j --) {
　　　　　　sum += a[j];
　　　　　　if (sum >= 0) f[i] = (f[i] + f[j - 1]) % 10000007;
　　　　}
　　}
　　cout << f[n] << "\n";
　　return 0;
}

 

优化

这个东西一看就知道可以用动态开点权值线段树来优化，算出了 $f[i]$ 后，我们就在 $sum[i]$ 的位置加上 $f[i]$。

$f[i+1]$ 就是小于等于 $sum[i+1]$ 的所有位置的和。

最终时间复杂度：$O(n{\log }_{400000000000})$

代码（欣赏一下我的线段树码风）：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
int n, x, y = 1, sum = 1, mod = 1000000007;
int a[200010], f[200010], tree[8000010], ls[8000010], rs[8000010];
void add (int l, int r, int k) {
    tree[k] = (tree[k] + y) % mod;
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid) {
        if (!ls[k]) ls[k] = ++ sum;
        add (l, mid, ls[k]);
    }
    else {
        if (!rs[k]) rs[k] = ++ sum;
        add (mid + 1, r, rs[k]);
    }
}
int query (int l, int r, int k) {
    if (x <= l && y >= r) return tree[k];
    int mid = l + r >> 1, res = 0;
    if (x <= mid) res += query (l, mid, ls[k]);
    if (y > mid) res = (res + query (mid + 1, r, rs[k]) ) % mod;
    return res;
}
signed main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        a[i] += a[i - 1];
    }
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        if (i == 0) add (-200000000000, 200000000000, 1);
        else {
            x = -200000000000;
            y = a[i];
            f[i] = query (-200000000000, 200000000000, 1);
            x = a[i];
            y = f[i];
            add (-200000000000, 200000000000, 1);
        }
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}