YACS 2022年11月月赛 乙组 T3 菜单设计 题解

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上完编程课回来的深夜，更一篇吧。

这一题一看数据范围$:18$，阶乘暴力打不了，就是状压。

其实我还是比较喜欢状压的，不过这几个月怎么这么多状压？

首先：设计状态

不难发现，如果想要统计客户的建议所贡献的美味值，那就需要记录上一道上的菜。

设 $f[i][j]$ 为上一道选的菜是 $i$，每一道菜选没选的状态是 $j$ 时的最大美味值。

然后：状态转移

枚举下一道菜上什么，统计一下这一道菜和 $i$ 的化学反应就可以了。

值得注意的是，题目中的客户建议是单向的，即只有上完 $a$ 再上 $b$ 会获得额外的美味值。

倒过来就没有额外的美味值了，这个东西调了我 $20$ 分钟啊！

接着：统计答案

如果当前的状态 $j$ 里包含了 $m$ 个 $1$，那么就拿 $ans$ 和它取一个最值。

最后输出即可。

最后：优化和剪枝

时间复杂度是 $O(2^m\times n^3)$，稍极端数据就被卡死了。

所以还是要预处理每一个状态包含了多少个 $1$，然后放到 $vector$ 里。

这样，时间复杂度下降到 $O(2^m\times n^2)$，极限数据 $84,934,656$。

虽然不至于被卡死，但是还是可以优化的。

如果当前的状态 $j$ 中包含了超过 $m$ 个 $1$，

那么它就不会直接或者间接的对答案做出贡献了，直接 $break$。

或者循环的时候只循环到 $m$，这样基本可以无风险通过了。

代码：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
long long n, m, p;
long long a, b, c, ans;
long long x[20], f[20][300005], add[20][20];
vector<long long> v[20];
int cnt (long long num)
{
    int ret = 0;
    while (num)
    {
        num &= num - 1;
        ret ++;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> x[i];
    cin >> p;
    for (int i = 1; i <= p; i ++)
    {
        cin >> a >> b >> c;
        add[a][b] = c;
    }
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++) v[cnt(i)].push_back(i);
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        for (int j = 0; j < v[i].size(); j ++)
        {
            int tmp = v[i][j], s = 0;
            vector <int> z;
            while (tmp)
            {
                s ++;
                if (tmp & 1) z.push_back(s);
                tmp >>= 1;
            }
            if (i == 1)
            {
                f[z[0] ][v[i][j] ] = x[z[0]];
                continue;
            }
            for (int k = 0; k < z.size() - 1; k ++)
            {
                for (int l = k + 1; l < z.size(); l ++)
                {
                    f[z[k] ][v[i][j] ] = max (f[z[k] ][v[i][j] ], f[z[l] ][v[i][j] - (1LL << z[k] - 1) ] + x[z[k] ] + add[z[l] ][z[k] ]);
                    f[z[l] ][v[i][j] ] = max (f[z[l] ][v[i][j] ], f[z[k] ][v[i][j] - (1LL << z[l] - 1) ] + x[z[l] ] + add[z[k] ][z[l] ]);
                    if (i == m) ans = max (ans, max(f[z[k] ][v[i][j] ], f[z[l] ][v[i][j] ] ) );
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}