2021 五星级挑战 132型序对

应大家的建议，我写点五星级题目的题解。

题目链接

先来讲下我初见这题时的想法：

暴力

暴力枚举 $i,j,k$ 合法就 $+1$ ，最后输出 $ans$ 不就得了？就这还甲组题目？

继续往下滑，我看到了数据范围：$n\le 20000$，不是 $O(n^2)$ 优化，就是 $O(nlogn)$

这也是我第一次见到这么奇怪的数据范围，不大又不小。

开始想咋做。

暴力优化？不行，再怎么弄也不能从 $O(n^3)$ 优化到 $O(n^2)$ 啊

$cdq$ 分治？不对，这也不是一个偏序问题。

容斥

最后，我想到了容斥，用所有的减掉不符合要求的，

也就是用 $n\times (n-1)\times (n-2)-a_{1,2,3}-a_{2,1,3}-a_{2,3,1}-a_{3,1,2}-a_{3,2,1}$（ $a_{x,y,z}$ 的意思就是 $xyz$ 型序对的数量）

我一看，这个 $a_{1,2,3},a_{3,2,1}$ 写一个权值树状数组就 $OK$ 了，但是其他三个呢？

好像跟 $132$ 型序对一样难求啊！

想来想去，还是不知道正解，但是肯定是容斥啊！

之后，我想到了 $a_{1,2,3}$ 是可以求的，而且它也是 $1$ 开头的，那么我们是否可以用 $a_{1,2,3}+a_{1,3,2}$ 减去 $a_{1,2,3}$ 来得到呢？

显然是可以的，但是 $a_{1,2,3}+a_{1,3,2}$ 是个什么鬼？

思考片刻后，我得到结论：$a_{1,2,3}+a_{1,3,2}$ 就是第一个数小，后面的数随便，只要比第一个数大即可了。（因为是排列啊）

这个东西也是很好求的。

下面先讲一下怎么求 $a_{1,3,3}$ （即第一个数最小，后面的比第一个数字大）

刚刚已经说了是权值树状数组。

那么我们就另树状数组的第 $i$ 位 $c[i]$ 为数字 $i$ 出现的次数。

接着倒着循环一遍。每一次 $c[a[i]]++$，在 $i$ 后面并且比 $a[i]$ 大的数字的数量

就是 $c[a[i]+1]+c[a[i]+2]+.....+c[n]$ （即，比 $a[i]$ 大一的数字加上比 $a[i]$ 大二的数字一直加到 $n$ ）

我们现在知道了在 $i$ 后面并且比 $i$ 大的数字出现了几次，如何算出 $a_{1,3,3}$ 的出现次数呢？

可以先任选这 $sum$ 个数字中的 $1$ 个，再选从另外 $sum-1$ 个数字中选 $1$ 个

方案数就是 $sum\times (sum-1)$，但是选的数字可能顺序不是递增的咋办

根据对称性，除以 $2$ 即可得到递增的了

$a_{1,2,3}$ 也是这样求的

先求出在 $a[i]$ 前比它小的，再求出在 $a[i]$ 后比它大的，然后两者相乘（因为这次选啥都是序号递增的）即可。

关于我刚开始时不知道权值树状数组写了个差分树状数组然后半天没过。。。

代码很好写

 

#include <iostream>
using namespace std;
long long n, ans;
long long num[20010], pos[20010];
void add(long long x,long long v)
{
    for(; x <= n; x += x & (-x) ) num[x] += v;
}
long long sum(long long x)
{
    return (x == 0) ? 0 : sum(x - (x & (-x) ) ) + num[x];
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(long long i = 1; i <= n; i ++) cin >> pos[i];    
    for(long long i = 1; i <= n; i ++)
    {
        long long L = sum(pos[i]);
        long long R = (n - pos[i]) - (i - 1 - L);
        ans += (R * (R - 1) / 2) - (R * L);
        add(pos[i], 1);
    }
    cout << ans << endl;   
    return 0;
}