后缀数组题目选讲
后缀数组题目选讲
复习题：luogu题单
CNOI的题
\(1.\)NOI2015 品酒大会
题意：\(\forall i∈[0,n)\)求有多少对后缀满足\(lcp \ge i\),以及满足条件的两个后缀的权值乘积的最大值。
我们统计出对于\(1...n\)中的每个\(i\)统计一下有多少个\(lcp=i\)再做个后缀和。
因为\(lcp(i,j)=min_{i<k \le j}{heiht_k}\)，我们考虑每个\(heiht_k\)能产生的贡献是一段区间。
这个是个单调栈经典问题，求出包含\(heigt_k\)且\(heigt_k\)是最大值的最长区间，然后左右长度相乘即可。
而最值可以用\(st\)表维护，维护最大和次大，最小和次小，因为最大乘积可能由两个负数相乘得出。
\(2.\)NOI2016 优秀的拆分
计算出\(st_i\)表示以\(i\)开头的\(AA\)串个数，\(ed_i\)表示以\(i\)结尾的\(AA\)串个数，我们用\(hash\)可以\(O(1)\)判断一个子串是否为\(AA\)串，答案就是\(\sum_{i=1}^{n-1}st_{i+1}\times ed_i\)，复杂度\(O(n^2)\)，这样就可以拿到\(95pts\)了，最后5pts打表就行了。
考虑如何更快的求出\(st\)和\(ed\)，我们枚举 \(AA\) 型字符串中\(A\)的长度\(L\)。每隔\(L\)格放一个关键点，即在\(L,2L,3L...\)位置放关键点。显然，一个长度为\(2L\)的 \(AA\) 型字符串应当经过恰好两个关键点。
设\(lcp(i,j)\)为以\(i,j\)后缀开头的最长公共前缀，\(lcs(i,j)\)为以\(i,j\)后缀结束的最长公共后缀，这个可以建正反串后缀数组求出。考虑两个相邻的关键点\(i,j\)，其中\(i+l=j\) ，那么显然当\(lcp(i,j)+lcs(i,j) \ge L\)时产生了贡献，贡献为\(lcp(i,j)+lcs(i,j)-L+1\)
如图红色是\(i,j\)，蓝色和绿色分别是\(lcp\)和\(lcs\)，其中粉色是\(AA\)串，而这个\(AA\)串可以一直向后滑动到棕色部分，滑动中经过的串的个数就是\(lcp(i,j)+lcs(i,j)-L+1\)，所以我们把红色加粗部分的所有\(st_i\)加\(1\)，把绿色加粗部分的所有\(ed_i\)加\(1\)，这个用差分实现即可。
复杂度：\(O(nlog_2n+n+\frac n 2+\frac n 3+...+1) \approx O(n \log_2 n)\)
\(3\).NOI2018 你的名字
题意: 给你一个字符串\(S\), 多次询问给定一个\(T\), 求\(T\)中不在\(S[l...r]\)中出现的本质不同的子串个数。
老套路，把询问离线，把所有串用一个特殊字符连在一起做后缀数组。
我们按顺序枚举\(T\)的每个后缀\(i\)，我们求出最大的长度\(L\)使得\(\large T[i,i+L-1]\)是\(S[l...r]\)的子串，那么长度小于\(L\)的显然都不满足条件，可以直接计算。这个\(L\)是可以二分的，但是我们发现所有的\(i+L-1\)这个位置随着\(i\)的增大是单调上升的，所以双指针即可。
所以现在只要判断一个\(L\)是否可行。事实上就是查询\(S[l...r-L+1]\)中是否存在一个\(k\)使得\(lcp(k,i) \ge L\)，我们先求出满足这个条件的\(k\)在后缀数组上的区间\([Le,Ri]\)，然后判断\([Le,Ri]\)中是否存在一个后缀\(k \in [l,r-L+1]\)，使用主席树查询即可。
用本质不同子串个数减去上述得到的答案即可。
时间复杂度\(O(nlog_2n)\)，注意常数。
\(4.\)[HEOI2016/TJOI2016 字符串
考虑二分答案，二分一个\(L\)只需要判断是否存在一个\(k \in [b-L+1,b]\)使得\(lcp(k,c)=L\)，根据上题的做法，先二分求出在后缀数组的对应的区间\([Le,Ri]\)，然后主席树查询即可。
时间复杂度\(O(nlog_2^2n)\)
CF的题
\(5.\)CF504E
先树剖再按\(dfn\)序建立正反后缀数组，跳重链的时候记录下重链的左右端点，然后拼起来。
每次我们用\(st\)表求出\(lcp(i,j)\)然后根据长度判断是否还能向扩展。
因为两个点之间重链个数最多只有\(2log_2n\)个，所以我们最多比较\(4log_2n\)次。
这个做法常数很小，最慢的点只要2s，目前我的账号周小涵是\(luogu\)的最优解。
\(6\).CF666E
老套路，把所有串用一个特殊字符连在一起做后缀数组。
容易发现答案就是对于所有满足\(lcp(pl,k) \ge pr-pl+1\)中\(col_k \in [l,r]\)的众数。
我们考虑将询问按 \(pr-pl+1\) 从大到小排序，再把\(heiht_i\) 也从大到小排序，用两个指针，一个指向当前询问，一个指向当前的\(heiht_i\)，我们将所有\(height_i \ge pr-pl+1\)的进行合并操作。也就是把\(i\)和\(i-1\)所在的集合合并，用数据结构维护众数即可，很显然用并查集+线段树合并可以很好的维护这个信息。这题的做法和noip2013 货车运输的思想是一样的，所以事实上也可以用\(kruskal\)重构树维护众数。
\(7.\)CF1037H
我们枚举答案与\(T\)的\(lcp\)长度\(L\)，找出在后缀数组上对应的区间\([l,r]\)，因为添加一个字符只会使区间缩小，所以我们用两次二分可以确定新一轮\([l,r]\)。
我们再枚第\(L+1\)个应该填什么字符，这个字符应满足字典序是大于原字符串的对应位置的字符，按照上述同样的方法求出\([l,r]\)，然后判断\([l,r]\)中是否\(\exist~sa_k\in[Le,Ri-L]\)，这个用主席树维护即可。
