[知识学习] 主席树

这两天学习了主席树，基本上搞懂了主席树是怎么操作的

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主席树，是一种可持久化线段树。最简单的操作就是维护静态区间第 $k$ 小

主席树通过维护历史版本，实现查询区间的有关操作

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主席树的原理

假设现在有这么一个序列：$4, 1, 3, 5, 2$

问如何求出区间 $[1,3]$ 内大小为第二的数？

利用大眼观察法，很显然是3

那么让计算机去怎么实现呢？它又没有眼睛

对于这个序列，我们可以先建一颗空的权值线段树，命名为“树 $0$ ”（方便后面的使用），如图：

别告诉我你不知道什么是权值线段树，自己去百度；

现在序列里面第一个数是 $4$，我们往树里面插入一个 $4$ ，因为要保留历史版本，所以我们对 $4$ 这个数新建一颗线段树，命名为“树 $1$ ”，如图：

为什么是这样呢？

$1\le 4 \le5$，故区间 $[1,5]++$;

$4\le 4 \le5$，故区间 $[4,5]++$;

$4\le 4 \le4$，故区间 $[4,4]++$;

其他的还是 $0$ ;

懂了没有。。。

继续插入第二个数 $1$ ，建成“树 $2$ ” ，这里不解释了

再插入第三个数 $3$，建成“树 $3$ ”

OK！现在我们就已经可以求出 $[1,3]$ 内的大小为第二大的数了

递归操作查询排名应该都会吧？

不会的看这里：

• 进入 $[1,5]$ 节点，我们发现他的左儿子的子树个数为$2$ ， $2\le k$ $(k=2)$，于是进入$[1,3]$节点;

• 然后我们发现 $[1,3]$ 节点的左儿子子树个数$1 < k$ $(k=2)$，于是进入 $[3,3]$ 节点；

• 此时我们把 $k$ 更新为 $1$ ($2-1=1$);

• 走到头了，于是就返回 $3$ ，所以答案就是 $3$ ，也就是原来的序列区间 $[1,3]$ 的第 $2$ 小就是 $3$

现在你明白了主席树是怎么操作了的吧？

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疑问

但是有一个问题：上面我们求的是区间$[1,r]$的第 $k$ 大的数

同理，区间 $[1,r]$ ($r\in$ $[1,n]$ , $r \in N$)的第 $k$ 大数我们也就会求了

那怎么求区间 $[l,r]$ 的第 $k$ 大数呢？

举个例子，求区间$[2,3]$的第 $k$ 大数

我们拿建出来的“树 $3$ ”减掉“树 $1$ ”后，再进行如上操作就可以了

这也就是前缀和思想

所以对于区间$[l,r]$ 我们拿“树 $r$ ”减去“树 $(l-1)$ ”，再query一下就可以求得答案了

还有一个问题：我每个数都开一个线段树来存，空间不会炸掉吗？

所以主席树是这样操作的：

• 每插入一个数 $x$ ，只有 $[x,x]$ 到 $[1,n]$ 一条链上的点会更新操作，所以我们可以共用一些点，就OK了，如图：

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例题与代码

那么主席树就介绍完了，具体实现给个例题让大家看看，还有不懂得可以再参考一下他人的博客

例题:【模板】可持久化线段树1(主席树)

#include <bits/stdc++.h>
#define N (200000+5)
#define ls ch[rt][0]
#define rs ch[rt][1]
#define vl ch[vs][0]
#define vr ch[vs][1]
using namespace std;
int n,m,q;
int rt[N],ch[N<<5][2],tot,val[N<<5];//rt:每个线段树的根，ch：左右儿子，tot：编号总数，val：权值
int a[N],b[N];//a：原数组，b：离散化数组
inline int query(int x){//离散化
	return lower_bound(b+1,b+m+1,x)-b;//离散化
}
inline void update(int &rt,int vs,int l,int r,int k){//更新，新建一棵树
	rt=++tot;//新树的根节点为tot++
	ls=vl,rs=vr;//左右儿子都是历史版本的左右儿子
	val[rt]=val[vs]+1;//新加入一个数，rt的权值++
	if(l==r) return;//叶子节点，return
	int mid=(l+r)>>1;//mid为分割区间的中点
	if(k<=mid) update(ls,vl,l,mid,k);//k<=mid，k在左儿子
	else update(rs,vr,mid+1,r,k);//否则k在右儿子
}
inline int query(int rt,int vs,int l,int r,int k){//询问第k大
	if(l==r) return l;//找到了（在叶子节点），return
	int mid=(l+r)>>1;
	int v=val[vl]-val[ls];
        //这里只用算一下k在不在左儿子就行了，不再左儿子就肯定在右儿子
	//这里用当前版本减去历史版本就是类似“前缀和”操作
	if(k<=v) return query(ls,vl,l,mid,k);//在左儿子，继续找
	else return query(rs,vr,mid+1,r,k-v);//不在左儿子，找右儿子，并把k减去左边所有的个数
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];//读入
	sort(b+1,b+n+1);//离散化数组先排序
	m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;//离散化
	for(int i=1;i<=n;i++){
		update(rt[i],rt[i-1],1,n,query(a[i]));
        //一个节点一个节点的插入；
	//这里对rt进行引用（&），相当于rt[i]=update(rt[i],rt[i-1],1,n,query(a[i]));
	}
	while(q--){
		int l,r,k;
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		printf("%d\n",b[query(rt[l-1],rt[r],1,n,k)]);//求解静态区间第k小，注意是l-1和r
	}
	return 0;
}