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树

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树的定义

  • 首先“树”的数据结构形式为一对多，和线性存储结构有了根本的区别；
  • 树(Tree)是\(n(n\geq0)\)个节点的有限集。\(n=0\)时称为空树。在任意的一棵非空树中：(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；(2)当\(n>1\)时，其余结点可分为\(m(m>0)\)个互不相交的有限集\(T_1、T_2、\cdots、T_m\),其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。树的结构如图1所示。

树结构图

  • 树的定义是一种递归的方法。也就是说在树的定义之中还用到了树的概念。下图所示的子树\(T_1\)和子树\(T_2\)就是根结点\(A\)的子树。当然，\(D、G、H、I\)组成的树又是以\(B\)为结点的子树，\(E、F、J\)组成的树是以\(C\)为结点的子树。

树

  • 对于树的定义当中需要注意以下两点：

    1. \(n>0\)时，根结点是唯一的，不可能存在多个根结点。

    2. \(m>0\)时，子树的个数是没有限制的，但它们一定是互不相交的。如下面两图中的结构就不符合树的定义，因为它们有相交的子树。

      ​

结点分类

树的结点是树中的一个独立单元，包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。度为0的结点称为叶子(Leaf)或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。下图所示的树的度为3，因为结点D的度为3。

202112090922152

结点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到结点所经分支上的所有结点。所以对于下图中的H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某节点为根的子树中的任一节点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I。

树的其他相关概念

结点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某节点在\(l\)层，则其子树的根就在第\(l+1\)层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然，下图中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度，下图中的树的深度为4。

有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。

森林：是\(m(m\geq0)\)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)是\(n(n\geq0)\)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。下图所示就是一棵二叉树。

二叉树

二叉树特点

二叉树的特点有：

  • 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。
  • 左子树和右子树是由顺序的，次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。如下图中所示，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。

二叉树具有五种基本形态：

  • 空二叉树
  • 只有一个根结点
  • 根结点只有左子树
  • 根结点只有右子树
  • 根结点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树

  1. 斜树

    所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。线性表结构可以理解为是树的一种及其特殊的表现形式。

  2. 满二叉树

    在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下图所示。

    满二叉树

    满二叉树的特点有：

    1. 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。
    2. 非叶子节点的度一定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。
    3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

  3. 完全二叉树

    如果二叉树中除去最后一层结点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布。

    完全二叉树

    按照上面的定义，下图中的三棵树就都不是完全二叉树。树1中，最后一层的结点不连续；树2中，除去最后一层不是满二叉树；树3中，与树1是同样的道理。所以只有上面图中的二叉树是完全二叉树。

    完全二叉树-1

    如此，可以总结出如下的完全二叉树特点:

    • 叶子结点只能出现在最下两层；
    • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
    • 倒数第二层若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
    • 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况；
    • 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。

先看一下完全二叉树的顺序存储，如下图所示的一棵完全二叉树：

二叉树

将这棵树存入到数组中，相应的下标对应其同样的位置，如下所示：

下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
内容 A B C D E F G H I J

由于图中的树是完全二叉树，可以使用顺序结构表现出来。

对于一般的二叉树，可以先将其按照完全二叉树编号，把不存在的结点设置为“^”而已。如下图所示的二叉树：

二叉树-1

下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
内容 A B C ^ E ^ G ^ ^ J

考虑下面的这种极端情况，一棵深度为\(k\)的右斜树，它只有\(k\)个结点，却需要分配\(2^k-1\)个存储单元空间，这就会对空间造成极大的浪费。如下图所示：

二叉树

下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
内容 A ^ B ^ ^ ^ C ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ D

根据上面的分析可以发现：顺序存储结构一般只适用于完全二叉树

//二叉树的顺序存储表示
#define MAXTSIZE 100 //二叉树的最大结点数
typedef TELemType SqBinaryTree[MAXSIZE] //0号单元存储根结点
SqBinaryTree bt;

二叉树的链式存储结构

由二叉树的定义得知，二叉树的结点(见下图中的(a))有一个数据元素和分别指向其左、右子树的两个分支构成，则表示二叉树的链表中的结点至少包含3个域：数据域和左、右指针域。如下图中的(b)所示。有时，为了便于找到结点的双亲，还可在结点结构中增加一个指向其双亲结点的指针域，如下图中的(c)所示。

二叉树的结点及其存储结构

利用上图(b)、(c)两种结构所得二叉树的存储结构分别称之为二叉链表和三叉链表，如下图所示。

链表存储结构

//二叉树的二叉链表存储表示
typedef struct BinaryTreeNode{
    char Data;
    struct BinaryTreeNode* Lchild,Rchild;
}BiTNode,*BiTree;

遍历二叉树

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

访问的含义很广，可以是对结点做各种处理，包括输出结点的信息，对结点进行运算和修改等。

二叉树遍历方法及算法实现

二叉树的遍历方式可以很多，如果限制了从左到右的习惯方式，那么主要就分为四种：

前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示的的二叉树，前序遍历的顺序为：ABDGHCEIF。

前序遍历

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(pBiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    printf("%c",T->Data);
    PreOrderTraverse(T->Lchild);
    PreOrderTraverse(T->Rchild);
}

假设现在有下图所示的一棵二叉树\(T\)。这棵树已经用二叉链表结构存储在内存当中。

二叉树

那么当调用PreOrderTraverse(pBiTree T)函数时,看一下程序是如何运行的。

  1. 调用PreOrderTraverse(T)，T的根结点不为NULL，所以执行printf，打印字母A，如下图所示。

    先序遍历过程

  2. 调用PreOrderTraverse(T->Lchild);访问了A结点的左孩子，不为NULL,执行printf显示字母B，如下图所示。

    先序遍历过程-1

  3. 此时再次递归调用PreOrderTraverse(T->lchild)；访问了B结点的左孩子，不为NULL，执行printf显示字母D，如下图所示。

    先序遍历过程-2

  4. 再次递归调用PreOrderTraverse(T->lchild)；访问了D结点的左孩子，不为NULL，执行printf显示字母H，如下图所示。

    先序遍历过程-3

  5. 调用PreOrderTraverse(T->lchild)；访问了H结点的左孩子，此时因为H结点无左孩子所以T==NULL，返回此函数，此时递归调用PreOrderTraverse(T->rchild);访问了H结点的右孩子，printf显示字母K，如下图所示。

    先序遍历过程-4

  6. 再次递归调用PreOrderTraverse(T->lchild)；访问了K结点的左孩子，K结点无左孩子，返回，调用PreOrderTraverse(T->rchild);访问了K结点的右孩子，也是NULL，返回。于是此函数执行完毕，返回到上一级递归的函数(即打印H结点时的函数)，也执行完毕，返回到打印结点D时的函数，调用PreOrderTraverse(T->rchild);访问了D结点的右孩子，为NULL，返回到B结点，调用PreOrderTraverse(T->rchild);找到了结点E，打印字母E，如下图所示。

    先序遍历过程-5

  7. 由于结点E没有左右孩子，返回打印结点B时的递归函数，递归执行完毕，返回到最初的PreOrderTraverse，调用PreOrderTraverse(T->rchild)；访问了结点A的右孩子，打印字母C，如下图所示。

    先序遍历过程-6

  8. 后面的执行过程就类似前面的递归调用，依次继续打印F、I、G、J。

中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示的二叉树，中序遍历的顺序为：GDHBAEICF。

中序遍历

/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(pBitree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);
    printf("%c",T->Data);
    InOrderTraverse(T->rchild);
}

后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根结点。如下图所示的二叉树，后序遍历的顺序为：GHDBIEFCA

后序遍历

/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(pBiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    printf("%c",T->Data);
}

推导遍历结果

由二叉树的先序序列和中序序列，能唯一地确定一棵二叉树。

由二叉树的后序序列和中序序列，能唯一地确定一棵二叉树。

  1. 已知一棵二叉树的先序序列和中序序列分别是ABFDCLMN和BFACDLNM，请画出这棵二叉树。

    • 由先序遍历可知，该树的根结点一定是A；

    • 由中序遍历可知，根结点一定在中间，而且其左部必全部是左子树子孙(BF)，其右部必全部是右子树子孙(CDLNM)；

      反推二叉树

    • 再看前中序中的B和F，在前序中为BF，在中序中也为BF，所以B是A的左孩子，F是B的左孩子还是右孩子根据前序序列无法判断，只能通过中序序列判断，根据中序序列的特征，F只能是B的右孩子(如果是左孩子，那中序序列的顺序则变成了FB)；

      二叉树反推-1

    • 再来看根结点A的右孩子，根据先序和中序的特征，D一定是A结点的右孩子，那根据中序序列得出C只能是D的左孩子；

      二叉树反推-2

    • 最后看L、N、M，在先序中的顺序是LMN，在中序中的顺序是LNM，那么L一定就是结点D的右孩子，NM必全部是L右子树的子孙；

      二叉树反推-3

    • 最后来判断N、M和L的关系，在先、中序中的顺序分别为MN和NM，所以M一定是L的右孩子，最后N只能是M的左孩子。

      二叉树反推-4

  2. 已知一棵二叉树的中序序列和后序序列分别是BDCEAFHG和DECBHGFA，请画出这棵二叉树。

    • 由后序序列的特征可知，根结点必在后序序列尾部，即根结点是A；
    • 由中序序列特征，根结点必在其中间，而且左部必全部是左子树子孙(BDCE),其右部必全部是右子树子孙(FHG);
    • 然后，根据后序中的DECB顺序可以确定B是A的左孩子，根据HGF判断F是A的右孩子。由此类推，可以唯一地确定一棵二叉树如下图所示。

二叉树反推-5

二叉树遍历算法的应用

“遍历”是二叉树各种操作的基础，通过“遍历”可以实现如下集中二叉树的遍历算法

建立二叉链表

利用递归原理实现先序遍历的顺序建立二叉链表，算法步骤如下：

  1. 扫描字符序列，读入字符ch；

  2. 如果ch是一个“#”字符，则表明该二叉树为空树，即T为NULL；否则执行以下操作：

    • 申请一个结点空间T;

    • 将ch赋给T->data;

    • 递归创建T的左子树；

    • 递归创建T的右子树；

#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

typedef struct BiTreeNode
{
    char Data;
    struct BiTreeNode* Lchild;
    struct BiTreeNode* Rchild;
}BiTreeNode,*BiTree,*pBiTreeNode;

void CreateBiTree(BiTree *T)
{
    char ch;
    scanf("%c",&ch);
    if(ch == '#'){
        *T = NULL;
    }
    else{
        *T = (pBiTreeNode)malloc(sizeof(BiTreeNode));
        if(*T == NULL)
            exit(OVERFLOW);
        (*T)->Data = ch;
        CreateBiTree(&((*T)->Lchild));
        CreateBiTree(&((*T)->Rchild));
    }
}

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL){
        return;
    }
    else{
        InOrderTraverse(T->Lchild);
        printf("%c",T->Data);
        InOrderTraverse(T->Rchild);
    }
}

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL){
        return;
    }
    else{
        PostOrderTraverse(T->Lchild);
        PostOrderTraverse(T->Rchild);
        printf("%c",T->Data);
    }
}

int main(void)
{
    BiTree T;
    CreateBiTree(&T);
    printf("中序递归遍历结果为:");
    InOrderTraverse(T);
    printf("\n");
    printf("后序递归遍历结果为:");
    PostOrderTraverse(T);

    return 0;
}

先序次序构造二叉树时，不仅要按先序次序输入结点的值，而且还要把叶子结点的左右孩子指针和度为1的结点的空指针输入。其原因是只根据结点的先序次序还不能唯一确定二叉树的形状。如下图所示，三棵树的先序次序都是abc。这样，在调用函数CreateBiTree()时，输入abc就会产生多义性。如果把叶子结点的左右孩子指针和度为1的结点的空指针(以#表示)也按先序输入，可以唯一确定二叉树的形状。

三棵先序遍历都为abc的二叉树

posted @ 2021-12-16 11:41  小x蛋x壳  阅读(103)  评论(0)  编辑  收藏  举报