算法进阶
贪心算法
贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。
1.找零问题
假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元，50元，20元，5元，1元，如何找零是的所需钱币的数量最少？
t = [100, 50, 20, 5, 1] def change(t, n): m = [0 for i in range(len(t))] for i, money in enumerate(t): m[i] = n // money n = n % money return m, n print(change(t, 376))
2、背包问题
一个小偷在某个商店发现有n个商品，第i个商品价值vi元，重wi千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该该走那些商品？
0-1背包：对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或则把一个商品拿走多次。
分数背包：对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。
举例： 商品1：v1=60 w1=10
商品2：v2=100 w2=20
商品3：v3=120 w3=30
背包容量量：W=50
goods = [(60, 10), (100, 20), (120, 30)] # 每个商品元组表示（价格，重量） goods.sort(key=lambda x: x[0] / x[1], reverse=True) def fractional_backpack(goods, w): m = [0 for i in range(len(goods))] total_v = 0 for i, (price, weight) in enumerate(goods): if w >= weight: m[i] = 1 total_v += price w -= weight else: m[i] = w / weight total_v += m[i] * price w = 0 break return total_v, m print(fractional_backpack(goods, 50))
3、拼接最大数字问题
有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数。如何拼接可以使得得到的整数最大？
例例：32,94,128,1286,6,71可以拼接除的最⼤大整数为
94716321286128
li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71] def number_join(li): li = list(map(str, li)) for i in range(len(li) - 1): for j in range(len(li) - i - 1): if li[j] + li[j + 1] < li[j + 1] + li[j]: li[j], li[j + 1] = li[j + 1], li[j] return "".join(li) print(number_join(li))
4、活动选择问题
假设有n个活动，这些活动要占⽤用同⼀一⽚片场地，⽽而场地在某时刻只能供⼀一个活动使⽤用。
每个活动都有⼀一个开始时间si和结束时间fi（题⽬目中时间以整数表示）,表示活动在[si, fi)区间占⽤用场地。
贪心讨论：最先结束的活动一定是最优解的一部分。
证明：假设a是所有活动中最先结束的活动，b是最优解重最先结束的活动
如果a=b，结论成⽴立。
如果a≠b，则b的结束时间⼀一定晚于a的结束时间，则此时⽤用a替换掉最优解中
的b，a⼀一定不不与最优解中的其他活动时间重叠，因此替换后的解也是最优解。
activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)] # 保证活动时按照结束时间排好序的 activities.sort(key=lambda x: x[1]) def activity_selection(a): res = [a[0]] for i in range(1, len(a)): if a[i][0] >= res[-1][1]: # 当前活动的开始时间小于等于最后一个入选活动的结束时间 res.append(a[i]) return res print(activity_selection(activities))
动态规划
1、从斐波那契数列看动态规划
斐波那契数列列：Fn = Fn−1 + Fn−2
练习：使⽤用递归和⾮非递归的⽅方法来求解斐波那契数列列的第n项
# 子问题的重复计算 def fibnacci(n): if n > 0: if n == 1 or n == 2: return 1 else: return fibnacci(n-1) + fibnacci(n-2) # 动态规划（DP）的思想 = 递归式 + 重复子问题 def fibnacci_no_recurision(n): f = [0, 1, 1] if n > 2: for i in range(n-2): num = f[-1] + f[-2] f.append(num) return f[n]
4、钢条切割问题
某公司出售钢条，出售价格与钢条⻓长度之间的关系如下表：
问题：现有⼀一段⻓长度为n的钢条和上⾯面的价格表，求切割钢条⽅方案，使得总收益最⼤大。
钢条切割问题 --递推式
设⻓长度为n的钢条切割后最优收益值为rn，可以得出递推式：rn = max(pn,r1+rn-1,r2+rn-2,…,rn-1+r1),
第⼀个参数pn表示不不切割
其他n-1个参数分别表示另外n-1种不不同切割⽅方案，对方案i=1,2,...,n-1
将钢条切割为长度为i和n-i两段
方案i的收益为切割两段的最优收益之和
考察所有的i，选择其中收益最大的⽅案
钢条切割问题 --最优子结构
可以将求解规模为n的原问题，划分为规模更更小的子问题：完成⼀一次切割后，可以将产⽣生的两段钢条看成两个独⽴立的钢条切个问题。
组合两个子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大的，构成原问题的最优解。
钢条切割满足最优子结构：问题的最优解由相关⼦问题的最优解组合而成，这些子问题可以独立求解。
钢条切割问题 --自顶向下递归实现
def cut_rod_recurision_2(p, n): if n == 0: return 0 else: res = 0 for i in range(1, n+1): res = max(res, p[i] + cut_rod_recurision_2(p, n-i)) return res
## 实现复杂度O（2n） 2的n次方， 效率指数型增长，效率非常慢
钢条切割问题 --动态规划解法
递归算法由于重复求解相同子问题，效率极低
动态规划的思想:
1. 每个子问题之求解一次，保存求解结果
2. 之后需要此问题时，只需要查找保存的结果
def cut_rod_dp(p, n): r = [0] for i in range(1, n+1): res = 0 for j in range(1, i+1): res = max(res, p[j] + r[i - j]) r.append(res) return r[n]
## 时间复杂度为O（n的平方）
钢条切割问题 --重构解
如何修改动态规划算法，使其不不仅输出最优解，还输出最优切割⽅方案？
对于每个子问题，保存切割一次时左边切下的长度
def cut_rod_extend(p, n): r = [0] s = [0] for i in range(1, n+1): res_r = 0 # 价格的最大值 res_s = 0 # 价格最大值对应方案的左边不切割部分的长度 for j in range(1, i + 1): if p[j] + r[i - j] > res_r: res_r = p[j] + r[i - j] res_s = j r.append(res_r) s.append(res_s) return r[n], s
动态规划问题关键特征
- 最优子结构
- 原问题的最优解中涉及多少个子问题
- 在确定最优解使用哪些自问题时，需要考虑多少种选择
- 重叠子问题
5、最长公共子序列
一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得 到的序列。
例：“ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的⼦序列
最长公共⼦子序列（LCS）问题：给定两个序列X和Y，求X和Y⻓度最⼤的公共⼦序列。
例：X="ABBCBDE" Y="DBBCDB" LCS(X,Y)="BBCD"
应⽤场景：字符串相似度⽐对
例如：要求a="ABCBDAB"与b="BDCABA"的LCS：
由于最后⼀位"B"≠"A"：
因此LCS(a,b)应该来源于LCS(a[:-1],b)与LCS(a,b[:-1])中更大的那⼀个
def lcs_length(x, y): m = len(x) n = len(y) c = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)] for i in range(1, m+1): for j in range(1, n+1): if x[i-1] == y[j-1]: # i j 位置上的字符匹配的时候，来自于左上方+1 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 else: c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) return c[m][n] def lcs(x, y): m = len(x) n = len(y) c = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)] b = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)] # 1 左上方 2 上方 3 左方 for i in range(1, m+1): for j in range(1, n+1): if x[i-1] == y[j-1]: # i j 位置上的字符匹配的时候，来自于左上方+1 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 b[i][j] = 1 elif c[i-1][j] > c[i][j-1]: # 来自于上方 c[i][j] = c[i-1][j] b[i][j] = 2 else: c[i][j] = c[i][j-1] b[i][j] = 3 return c[m][n], b def lcs_trackback(x, y): c, b = lcs(x, y) i = len(x) j = len(y) res = [] while i > 0 and j > 0: if b[i][j] == 1: # 来自左上方=>匹配 res.append(x[i-1]) i -= 1 j -= 1 elif b[i][j] == 2: # 来自于上方=>不匹配 i -= 1 else: # ==3 来自于左方=>不匹配 j -= 1 return "".join(reversed(res)) print(lcs_trackback("ABCBDAB", "BDCABA"))
欧几里得算法
最大公约数
约数：如果整数a能被整数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
给定两个整数a、b，两个数的所有公共约数中的最大值即为最大公约数
例：12与16的最大公约数是4
如何计算两个数的最大公约数：
欧几里得：辗转相除法（欧几里得算法）
九章算术：更相减损术
# 欧几里得算法：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) 例：gcd(60,21) = gcd(21,18) = gcd(18,3) = gcd(3,0) = 3
RSA加密算法介绍
传统加密：加密算法是秘密的
现代密码系统：加密算法是公开的，密钥是秘密的
- 对称加密
- 非对称加密
RSA非对称加密系统：
公钥：用来加密，是公开的
私钥：用来解密，是私有的
## RSA加密算法过程 1、随机选取两个质数p和q 2、计算n=pq 3、选取⼀个与φ(n)互质的小奇数e,φ(n)=(p-1)(q-1) 4、对模φ(n),计算e的乘法逆元d，即满足 (e*d) mod φ(n) = 1 5、公钥(e, n) 私钥(d, n)
加密过程：c = (m^e) mod n
解密过程：m = (c^d) mod n
