WC2021

T1 括号路径

知识点：并查集，启发式合并。

发现如果存在 \(x\to y\) 的路径是合法的，那么同时也必然存在 \(y\to x\) 的路径合法，说明合法是双向的。而括号路径的合法性有是由传递性的，也就是如果 \(x\leftrightarrow y\) 合法，\(y\leftrightarrow z\) 合法，那么 \(x\leftrightarrow z\) 合法。

这也就意味着，是否存在合法路径是可以用集合划分的，这也就启发我们使用并查集维护。

而经典的括号序列定义，如果 \(S\) 是括号序列，那么 \((S)\) 是括号序列。那么我们只需要关注如何向外面套括号。发现如果由 \(u\to v\) 的 \(k\) 边和 \(u'\to v\) 的 \(k\) 边，那么 \(u\leftrightarrow u'\) 就是合法的，那么我们就可以将这两个点看成同一个点。

使用启发式合并维护合并的过程，用 map 存边，时间复杂度是 \(O(m\log^2m)\) 的。

T2 表达式求值

知识点：表达式维护，DP。

发现这种之和 \(\min\) 或 \(\max\) 有关的问题，一般可以先考虑如果只有 \(0\) 和 \(1\) 两种数的情况。

发现 \(m\) 很小，所以我们枚举 \(2^m\) 种哪些数是 \(0\) 哪些数是 \(1\) 的情况，然后考虑求由多少种 ? 的选择使得结果是 \(1\)。

把表达式建成数，可以通过直接维护 \(f_{i,0/1}\) 表示树上 \(i\) 子树内的表达式有多少种选择 ? 的方式使得答案为 \(0/1\)。

这个 DP 是容易的。

最后我们只需要考虑每一组 \(A_{*,j}\)，我们这 \(m\) 个元素从小到大排序，对于每一个 \(\ge A_{*,j}\) 的所有元素，可以计算出它的贡献。

时间复杂度 \(O(|S|2^m+nm\log m)\)。

T3 斐波那契

知识点：数学

记 \(f_0=0,f_1=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i\ge 2)\)

那么有 \(F_i=af_{i-1}+bf_i\)

我们要找 \(af_{p-1}+bf_p\equiv 0\pmod m\)。

令 \(b=-b\)，有 \(af_{p-1}\equiv bf_p\pmod m\)。

令 \(d=\gcd(a,b,m)\)，则 \(\dfrac{a}{d}f_{p-1}\equiv \dfrac{b}{d}f_p\pmod{\dfrac{m}{d}}\)

令 \(d'=\gcd(\dfrac{b}{d},\dfrac{m}{d})\)，则 \(\dfrac{a}{d}\dfrac{f_{p-1}}{d'}\equiv\dfrac{b}{dd;}f_p\pmod {\dfrac{m}{dd'}}\)。

那么就有 \(\dfrac{a}{d}(\dfrac{b}{dd'})^{-1}\dfrac{f_{p-1}}{d'}\equiv f_p\pmod {\dfrac{m}{dd'}}\)。

那么 \(\dfrac{a}{d}(\dfrac{b}{dd'})^{-1}\equiv \dfrac{f_p}{\dfrac{f_{p-1}}{d'}}\pmod {\dfrac{m}{dd'}}\)。

所以我们知道 \(d,d',\dfrac{f_p}{\dfrac{f_{p-1}}{d'}}\bmod {\dfrac{m}{dd'}}\) 就可以去检验 \(p\) 是不是 \((a,b)\) 的解了。

而我们可以得到 \(d'=\gcd(f_{p-1},\dfrac{m}{d})\)，所以只需要枚举 \(d\) 和 \(p\) 就可以了，而可以证明这样枚举的数量级是 \(m\log\log m\) 的。

然后判掉一些 corner case 即可。